Измеримое множество

Измеримое множество — в математике множество, имеющее измеримую характеристическую функцию (т. е. функцию, равную 1 на этом множестве и равную 0 на дополнении этого множества).

Множество называется измеримым относительно меры $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$, если оно принадлежит σ-алгебре, на которой определена $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$. Для подмножеств евклидова пространства, если мера не указывается, предполагается что $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ — это мера Лебега.

Определение через внешнюю меруПравить

Пусть имеется полукольцо S с единицей E и σ-аддитивная мера $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  на нём — это значит, что для любого множества $A\subset <!--\; \subset \; -->S$$A\subset S$  можно определить внешнюю меру. Тогда множество A называется измеримым относительно меры $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , если

$\forall \varepsilon >0:\forall B\subset S:\mu ^{*}(A\triangle B)<\varepsilon \Rightarrow B\in R(S):,$ 

где R(S) — минимальное кольцо, содержащее S, а $\mathrm{△<!--\; △\; -->}$$\triangle$  — симметрическая разность множеств. При этом множество измеримых множеств будет σ-алгеброй, а ограничение внешней меры на это множество — σ-аддитивной мерой.

СвойстваПравить

• Объединение конечной или счётной совокупности измеримых множеств есть измеримое множество.

ЛитератураПравить

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.