Росток (математика)

Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.

Формальное определениеПравить

Пусть задана точка $x$$x$  топологического пространства $X$$X$  и два отображения $f,g:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f,\;g:X\to Y$  в любое множество $Y$$Y$ . Тогда говорят, что $f$$f$  и $g$$g$  задают один и тот же росток в $x$$x$ , если есть окрестность $U$$U$  точки $x$$x$ , такая что ограничение $f$$f$  и $g$$g$  на $U$$U$  совпадают. То есть,

$f{|}_U=g{|}_U$$f|_{U}=g|_{U}$ 

(что означает $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}^{\prime }\in <!--\; \in \; -->U,f(x^{\prime })=g(x^{\prime })$$\forall x'\in U,\;f(x')=g(x')$ ).

Аналогично говорят о двух подмножества $S,T\subset <!--\; \subset \; -->X$$S,\;T\subset X$ : они определяют один и тот же росток в $x$$x$ , если существует окрестность $U$$U$ , такая что:

$S\cap <!--\; \cap \; -->U=T\cap <!--\; \cap \; -->U.$$S\cap U=T\cap U.$ 

Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке $x$$x$  есть отношение эквивалентности (на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками (ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно $f{\sim <!--\; \sim \; -->}_{x}g$$f\sim _{x}g$  или $S{\sim <!--\; \sim \; -->}_{x}T$$S\sim _{x}T$ .

Росток данного отображения $f$$f$  в точке $x$$x$  обычно обозначают $[f{]}_x$$[f]_{x}$ . Аналогично, росток, задаваемый множеством $S$$S$ , обозначают $[S{]}_x$$[S]_{x}$ .

$[f{]}_x=\{g:X\to <!--\; \to \; -->Y\mid <!--\; \mid \; -->g{\sim <!--\; \sim \; -->}_{x}f\}.$$[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.$ 

Росток, отображающий точку $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  в точку $y\in <!--\; \in \; -->Y$$y\in Y$  пишут $(X,x)\to <!--\; \to \; -->(Y,y)$$(X,\;x)\to (Y,\;y)$ , таким образом $f$$f$  является целым классом эквивалентности отображений, и под $f$$f$  принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны (задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции (относительно ростков отображений):

$S{\sim <!--\; \sim \; -->}_{x}T⟺<!--\; ⟺\; -->{\mathbf{1}}_S{\sim <!--\; \sim \; -->}_x{\mathbf{1}}_T.$$S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.$ 

ЛитератураПравить

• Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.