Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника[1]. Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены[1][2].
![]()
![]()
Развёртки платоновых тел с «крылышками» для склеивания граней![]()
![]()
![]()
Править
![]()
![]()
Большие размерности![]()
![]()
![]()
Править
![]()
![]()
Свойства![]()
![]()
![]()
Править
- Существуют примеры развёрток, из которых можно склеить различные выпуклые многогранники.
- Известны примеры невыпуклых многогранников, не допускающих развёрток.[3]
- Среди тетраэдров можно найти пример, такой что разрезание рёбер по остовному дереву даёт развёртку с самоналеганиями.
- В 1975 году
Шепард
[en] сформулировал гипотезу, что каждый выпуклый многогранник имеет развёртку без наложений.[4] Эта гипотеза остаётся открытой до сегодняшнего дня.[5][6] Известно следующее:
- Для невыпуклых многогранников утверждение не верно.
- Некоторые многогранники, например, неправильные тетраэдры определённого типа, допускают развёртки с самоперекрытиями.
- Гипотеза верна для многогранников, у которых одна из граней имеет общее ребро со всеми остальными.
- В 2014 Мохамед Гоми доказал, что такая развёртка найдётся, если применить к многограннику аффинное преобразование определённого типа.[7] В частности, из любого комбинаторного класса выпуклых многогранников можно выбрать многогранник, допускающий развёртку.
![]()
![]()
См. также![]()
![]()
![]()
Править
- Паттерн (оригами)
- Эвольвента — развёртка кривой.
![]()
![]()
Примечания![]()
![]()
![]()
Править
↑ 1 2
ЭЭМ, книга IV, 1963, с. 410.
↑
Веннинджер, 1974.
↑
Demaine, Erik D. & O'Rourke, Joseph (2007), Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, с. 306–338
↑
Shephard, G. C. (1975), Convex polytopes with convex nets, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Т. 78 (3): 389–403
, DOI 10.1017/s0305004100051860
↑
Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑
dmoskovich (June 4, 2012), Dürer's conjecture
, <http://www.openproblemgarden.org/op/d_urers_conjecture>
Архивная копия от 2 июня 2017 на Wayback Machine
↑
Ghomi, Mohammad (2014), Affine unfoldings of convex polyhedra, Geom. Topol. Т. 18: 3055–3090
![]()
![]()
Литература![]()
![]()
![]()
Править
Энциклопедия элементарной математики / Главная редакция: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — 1963. — Т. IV.
Веннинджер М. Модели многогранников / Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1974.