Развёртка многогранника

Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника^[1]. Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены^[1]^[2].

Развёртка додекаэдра

Развёртки платоновых тел с «крылышками» для склеивания гранейПравить

Большие размерностиПравить

СвойстваПравить

Существуют примеры развёрток, из которых можно склеить различные выпуклые многогранники.
Известны примеры невыпуклых многогранников, не допускающих развёрток.^[3]
Среди тетраэдров можно найти пример, такой что разрезание рёбер по остовному дереву даёт развёртку с самоналеганиями.

В 1975 году Шепард^[en] сформулировал гипотезу, что каждый выпуклый многогранник имеет развёртку без наложений.^[4] Эта гипотеза остаётся открытой до сегодняшнего дня.^[5]^[6] Известно следующее:
- Для невыпуклых многогранников утверждение не верно.
- Некоторые многогранники, например, неправильные тетраэдры определённого типа, допускают развёртки с самоперекрытиями.
- Гипотеза верна для многогранников, у которых одна из граней имеет общее ребро со всеми остальными.
- В 2014 Мохамед Гоми доказал, что такая развёртка найдётся, если применить к многограннику аффинное преобразование определённого типа.^[7] В частности, из любого комбинаторного класса выпуклых многогранников можно выбрать многогранник, допускающий развёртку.

См. такжеПравить

Паттерн (оригами)
Эвольвента — развёртка кривой.

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² ЭЭМ, книга IV, 1963, с. 410.
↑ Веннинджер, 1974.
↑ Demaine, Erik D. & O'Rourke, Joseph (2007), Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, с. 306–338
↑ Shephard, G. C. (1975), Convex polytopes with convex nets, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Т. 78 (3): 389–403, DOI 10.1017/s0305004100051860
↑ Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ dmoskovich (June 4, 2012), Dürer's conjecture, <http://www.openproblemgarden.org/op/d_urers_conjecture> Архивная копия от 2 июня 2017 на Wayback Machine
↑ Ghomi, Mohammad (2014), Affine unfoldings of convex polyhedra, Geom. Topol. Т. 18: 3055–3090

ЛитератураПравить

Энциклопедия элементарной математики / Главная редакция: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — 1963. — Т. IV.
Веннинджер М. Модели многогранников / Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1974.

[_2ae197c52593321e-1] ¹ ² ЭЭМ, книга IV, 1963, с. 410.

[_c781f4050abb40e0-2] Веннинджер, 1974.

[3] Demaine, Erik D. & O'Rourke, Joseph (2007), Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, с. 306–338

[4] Shephard, G. C. (1975), Convex polytopes with convex nets, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Т. 78 (3): 389–403, DOI 10.1017/s0305004100051860

[5] Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[6] skovich (June 4, 2012), Dürer's conjecture, <http://www.openproblemgarden.org/op/d_urers_conjecture> Архивная копия от 2 июня 2017 на Wayback Machine

[7] Ghomi, Mohammad (2014), Affine unfoldings of convex polyhedra, Geom. Topol. Т. 18: 3055–3090

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]