Эвольвента

Запрос «Инволюта» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Эвольве́нта (от лат. evolvens «разворачивающийся») плоской линии $L$$L$ — это линия $L_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$L_{*}$, по отношению к которой $L$$L$ является эволютой.

Эвольвенты окружности. Являются частью профиля в зубчатом колесе с эвольвентным зацеплением

Анимация построения эвольвенты окружности

Иными словами — кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия $L$$L$ задана уравнением $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r}(s)$${\bar {r}}={\bar {r}}(s)$ (где $s$$s$ — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r}+(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->s)\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{r}}$${\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {{\bar {r}}}}$,

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

$X=x-<!--\; -\; -->\frac{x^{\prime }\underset{a}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt}{\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$$X=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

$Y=y-<!--\; -\; -->\frac{y^{\prime }\underset{a}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt}{\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$$Y=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

ПримерПравить

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её уравнения имеют следующий вид:

$x=r(\cos <!--\; \; -->(t)+t\sin <!--\; \; -->(t))$$x=r(\cos(t)+t\sin(t))$ 

$y=r(\sin <!--\; \; -->(t)-<!--\; -\; -->t\cos <!--\; \; -->(t))$$y=r(\sin(t)-t\cos(t))$ 

где $t$$t$  — угол, a $r$$r$  — радиус

 

Эвольвента цепной линии

ПримененияПравить

• В технике эвольвенту окружности используют как профиль зуба для колёс зубчатой передачи и в спиральных вакуумных насосах.

См. такжеПравить

• Эволюта
• Эвольвентное зацепление
• Параллельная кривая
• Каустика