Lp (пространство)

Для термина «LP» см. также другие значения.

$L^p$$L^{p}$ (также встречается обозначение $L_p$$L_{p}$; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их $p$$p$-я степень интегрируема, где $p⩾<!--\; ⩾\; -->1$$p\geqslant 1$.

$L^p$$L^{p}$ — важнейший класс банаховых пространств. $L^2$$L^{2}$ (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

ПостроениеПравить

Для построения пространств $L^p$$L^{p}$  используются ${\mathcal{L}}^p$${\mathcal {L}}^{p}$ -пространства. Пространство ${\mathcal{L}}^p(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$  для пространства с мерой $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$  и $1\leqslant p<\infty$  — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

$\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty$ .

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство ${\mathcal{L}}^p(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$  линейно.

На линейном пространстве ${\mathcal{L}}^p(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$  вводится полунорма:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p={\left(\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}|f(x){|}^p\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)\right)}^{\frac{1}{p}}$$\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p}}$ .

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы

Далее, на ${\mathcal{L}}^p$${\mathcal {L}}^{p}$  вводится отношение эквивалентности: $f\sim <!--\; \sim \; -->g$$f\sim g$ , если $f(x)=g(x)$$f(x)=g(x)$  почти всюду. Это отношение разбивает пространство ${\mathcal{L}}^p$${\mathcal {L}}^{p}$  на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) ${\mathcal{L}}^p/\sim <!--\; \sim \; -->$${\mathcal {L}}^{p}/\sim$  можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство $\left({\mathcal{L}}^p/\sim <!--\; \sim \; -->,\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p\right)$$\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$  с построенной на нём нормой, и называется пространством $L^p(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$L^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$  или просто $L^p$$L^{p}$ .

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами $L^p$$L^{p}$  называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При $0<p<1$  $L^p$$L^{p}$  не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника, однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

ПолнотаПравить

Норма на $L^p$$L^{p}$  вместе с линейной структурой порождает метрику:

$d(f,g)=\Vert <!--\; \Vert \; -->f-<!--\; -\; -->g{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p$$d(f,\;g)=\|f-g\|_{p}$ ,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\subset <!--\; \subset \; -->L^p$$\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$  называют сходящейся к функции $f\in <!--\; \in \; -->L^p$$f\in L^{p}$ , если:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f_n-<!--\; -\; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p\to <!--\; \to \; -->0$$\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ .

По определению, пространство $L^p$$L^{p}$  полно, когда любая фундаментальная последовательность в $L^p$$L^{p}$  сходится к элементу этого же пространства. Таким образом $L^p$$L^{p}$  — банахово пространство.

Пространство L²Править

В случае $p=2$$p=2$  норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве $L^2$$L^{2}$  вводится следующим образом:

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g(x)}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)$$\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)$ ,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)g(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)$$\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)$ ,

если они вещественные. Тогда, очевидно:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_2=\sqrt{⟨<!--\; ⟨\; -->f,f⟩<!--\; ⟩\; -->}$$\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle }}$ ,

то есть норма порождается скалярным произведением. Ввиду полноты любого $L^p$$L^{p}$  следует, что $L^2$$L^{2}$  — гильбертово.

Пространство L^∞Править

Пространство $L^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$L^{\infty }$  строится из пространства ${\mathcal{L}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$  измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\underset{x\in <!--\; \in \; -->X}{sup}|f(x)|$$\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|$ , где $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}sup$$\mathrm {ess} \sup$  — существенный супремум функции.

$L^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$L^{\infty }$  — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой $\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\|\cdot \|_{\infty }$ , называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

$f_n\to <!--\; \to \; -->f$$f_{n}\to f$  в $L^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$L^{\infty }$ , если $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\underset{x\in <!--\; \in \; -->X}{sup}|f_n(x)-<!--\; -\; -->f(x)|\to <!--\; \to \; -->0$$\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ .

СвойстваПравить

• Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве $L^p$$L^{p}$ . Пусть $f_n(x)=n^{1/p}$$f_{n}(x)=n^{1/p}$  при $x\in <!--\; \in \; -->(0,1/n]$$x\in (0,1/n]$  и $f_n(x)=0$$f_{n}(x)=0$  при $x\in <!--\; \in \; -->(1/n,1]$$x\in (1/n,1]$ , $f_n\in <!--\; \in \; -->L^p$$f_{n}\in L^{p}$ . Тогда $f_n\to <!--\; \to \; -->0$$f_{n}\to 0$  почти всюду. Но $\Vert <!--\; \Vert \; -->f_n{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p^p={\int <!--\; \int \; -->}_0^1|f_n{|}^{p}d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1$$\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$ . Обратное также неверно.
• Если $\Vert <!--\; \Vert \; -->f_n-<!--\; -\; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p\to <!--\; \to \; -->0$$\|f_{n}-f\|_{p}\to 0$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ , то существует подпоследовательность $f_{n_k}$$f_{n_{k}}$ , такая что $f_{n_k}\to <!--\; \to \; -->f$$f_{n_{k}}\to f$  почти всюду.
• $L^p$$L^{p}$  функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть $L_{C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}^p(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)$$L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$  — подмножество $L^p(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)$$L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ , состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда $L_{C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}^p$$L_{C^{\infty }}^{p}$  всюду плотно в $L^p$$L^{p}$ .
• $L^p(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)$$L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$  — сепарабельно при $p<\infty$ .
• Если $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — конечная мера, например, вероятность, и $1⩽<!--\; ⩽\; -->p⩽<!--\; ⩽\; -->q⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$ , то $L^q\subset <!--\; \subset \; -->L^p$$L^{q}\subset L^{p}$ . В частности, $L^2\subset <!--\; \subset \; -->L^1$$L^{2}\subset L^{1}$ , то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространстваПравить

Для пространств ${\left(L^p\right)}^{\star <!--\; \star \; -->}$$\left(L^{p}\right)^{\star }$ , сопряжённое к $L^p$$L^{p}$  (пространств линейных функционалов на $L^p$$L^{p}$ ) имеет место следующее свойство: если $1<p<\infty$ , то ${\left(L^p\right)}^{\star <!--\; \star \; -->}$$\left(L^{p}\right)^{\star }$  изоморфно $L^q$$L^{q}$  (${\left(L^p\right)}^{\star <!--\; \star \; -->}\cong <!--\; \cong \; -->L^q$$\left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}$ ), где $1/p+1/q=1$$1/p+1/q=1$ . Любой линейный функционал на $L^p$$L^{p}$  имеет вид:

$g(f)=\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx),$$g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),$ 

где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{g}(x)\in <!--\; \in \; -->L^q$${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$ .

В силу симметрии уравнения $1/p+1/q=1$$1/p+1/q=1$ , само пространство $L^p$$L^{p}$  дуально (с точностью до изоморфизма) к $L^q$$L^{q}$ , а следовательно:

${\left(L^p\right)}^{\star <!--\; \star \; -->\star <!--\; \star \; -->}\cong <!--\; \cong \; -->L^p.$$\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.$ 

Этот результат справедлив и для случая $p=1$$p=1$ , то есть ${\left(L^1\right)}^{\star <!--\; \star \; -->}=L^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$ . Однако ${\left(L^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\right)}^{\star <!--\; \star \; -->}\ncong L^1$$\left(L^{\infty }\right)^{\star }\not \cong L^{1}$  и, в частности, ${\left(L^1\right)}^{\star <!--\; \star \; -->\star <!--\; \star \; -->}\ncong L^1$$\left(L^{1}\right)^{\star \star }\not \cong L^{1}$ .

Пространства ℓ^pПравить

Пусть $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})=\left(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m\right)$$(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ , где $m$$m$  — счётная мера на $\mathbb{N}$$\mathbb {N}$ , то есть $m(\{n\})=1,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N}$ . Тогда если $p<\infty$ , то пространство ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p\left(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m\right)$$\ell ^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$  представляет собой семейство последовательностей вида $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , таких что:

$\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty$ .

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

$\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p={\left(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_n{|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$$\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ .

Получившееся нормированное пространство обозначается ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p$$\ell ^{p}$ .

Если $p=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$p=\infty$ , то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

$\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=\underset{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}{sup}|x_n|$$\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|$ .

Получившееся пространство называется ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\ell ^{\infty }$ , оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив $p=2$$p=2$ , получается гильбертово пространство ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2$$\ell ^{2}$ , чья норма порождена скалярным произведением:

$⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_n\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y_n}$$\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}}$ ,

если последовательности комплекснозначные, и:

$⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_n{y}_n,$$\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n}},$ 

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p$$\ell ^{p}$ , где $1<p<\infty$  изоморфно ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^q$$\ell ^{q}$ , $1/p+1/q=1$$1/p+1/q=1$ . Для $p=1:{\left({\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^1\right)}^{\star <!--\; \star \; -->}={\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }$ . Однако ${\left({\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\right)}^{\star <!--\; \star \; -->}\ncong {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^1$$\left(\ell ^{\infty }\right)^{\star }\not \cong \ell ^{1}$ .

ЛитератураПравить

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.