Проблемы Гильберта

Пробле́мы Ги́льберта — список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Полный список из 23 задач был опубликован позже, в частности, в переводе на английский язык в 1902 году Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон в Bulletin of the American Mathematical Society^[1]. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены. Некоторые из них оказали большое влияние на математику XX века.

Портрет Давида Гильберта в 1900-е годы

На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

С 1900 года математики и математические организации объявляли списки проблем, но, за редким исключением, эти сборники не оказали почти такого же влияния и не произвели столько работы, сколько проблемы Гильберта. Одно из исключений представлено тремя гипотезами, высказанными Андре Вейлем в конце 1940-х годов (гипотезы Вейля). Пал Эрдёш составил список из сотни, если не тысячи математических задач, многие из которых глубокие. Эрдёш часто предлагал денежные вознаграждения; размер вознаграждения зависел от предполагаемой сложности задачи.

Список проблемПравить

№	Статус	Краткая формулировка	Результат	Год решения
1	решена^[2]	Проблема Кантора о мощности континуума (Континуум-гипотеза)	Доказано, что проблема неразрешима в ZFC. Нет единого мнения относительно того, является ли это решением проблемы.	1940, 1963
2	нет консенсуса^[3]	Непротиворечивость аксиом арифметики.	Требует уточнения формулировки
3	решена	Равносоставленность равновеликих многогранников	Опровергнута	1900
4	слишком расплывчатая	Перечислить метрики, в которых прямые являются геодезическими^{[уточнить]}	Требует уточнения формулировки^[4]
5	решена	Все ли непрерывные группы являются группами Ли?	Да	1953
6	частично решена^[5]	Математическое исследование аксиом физики	Зависит от интерпретации исходной постановки проблемы^[6]
7	решена	Является ли число $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $2^{\sqrt {2}}$ трансцендентным (или хотя бы иррациональным)^[7]	Да	1934
8	не решена, но есть прогресс^[8]	Проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха)	Доказана тернарная гипотеза Гольдбаха^[9]^[10]^[11]^[12].
9	частично решена^[13]	Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле	Доказана для абелевого случая
10	решена^[14]	Есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений?	Нет	1970
11	частично решена	Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами
12	не решена	Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности
13	решена	Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных?	Да	1957
14	решена	Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов линейной алгебраической группы^[15]	Опровергнута	1959
15	частично решена	Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта
16	частично решена^[16]	Топология алгебраических кривых и поверхностей^[17]
17	решена	Представимы ли определённые формы в виде суммы квадратов?	Да	1927
18	решена^[18]^[19]	Конечно ли число кристаллографических групп? (a) Существуют ли нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками? (b) Являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная упаковки шаров наиболее плотными? (c)	Да Да Да	1911 (а) 1928 (b) 1998 (c)
19	решена	Всегда ли решения регулярной вариационной задачи Лагранжа являются аналитическими?	Да	1957
20	решена^[20]^[21]^[22]	Все ли регулярные вариационные задачи с определёнными граничными условиями имеют решения, если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование?	Да	1937—1962
21	решена	Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии	Существуют или нет, зависит от более точных формулировок задачи	1992
22	частично решена	Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций
23	не решена, но есть прогресс	Развитие методов вариационного исчисления	Требует уточнения формулировки

24-я проблемаПравить

Основная статья: 24-я проблема Гильберта

Изначально список содержал 24 проблемы, но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Эта проблема была связана с теорией доказательств критерия простоты и общих методов. Данная проблема была обнаружена в заметках Гильберта немецким историком науки Рюдигером Тиле в 2000 году^[23].

Другие знаменитые списки проблемПравить

Спустя ровно сто лет после оглашения списка Гильберта американский математик Стивен Смейл предложил новый список современных нерешённых проблем (часть из них уже решены). Проблемы Смейла не получили большого внимания со стороны средств массовой информации, и неясно, насколько серьёзное внимание они получают от математического сообщества. Свой список обнародовал Математический институт Клэя. Каждая проблема премии включает в себя награду в миллион долларов. В 2008 году Управление перспективных исследовательских проектов Министерства обороны США объявила о своем собственном списке из 23 проблем, которые, как она надеялась, могут привести к крупным математическим прорывам, «тем самым укрепив научно-технические возможности Министерства обороны США»^[24]^[25].

ПримечанияПравить

↑ Hilbert, David. Mathematical Problems (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — 1902. — Vol. 8, no. 10. — P. 437—479. — doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3. Earlier publications (in the original German) appeared in Hilbert, David. Mathematische Probleme (неопр.) // Göttinger Nachrichten. — 1900. — С. 253—297. and Hilbert, David. [no title cited] (неопр.) // Archiv der Mathematik und Physik. — 1901. — Т. 1, 3. — С. 44—63, 213—237.
↑ Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).
↑ Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε₀.
↑ Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
↑ L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.
↑ Более того, решение проблемы о получении динамики континуума из атомистического описания может быть отрицательным: Marshall Slemrod, Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi:10.1098/rsta.2017.0222
↑ Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то a^b — трансцендентное число
↑ Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена совсем, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
↑ Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has… (неопр.) Дата обращения: 21 июня 2013. Архивировано 8 августа 2013 года.
↑ Major arcs for Goldbach’s theorem Архивная копия от 29 июля 2013 на Wayback Machine, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
↑ Goldbach Variations Архивная копия от 16 декабря 2013 на Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Архивная копия от 23 июня 2013 на Wayback Machine // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
↑ Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
↑ Юрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.
↑ Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.
↑ Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $M=(n-1)(n-2)/2+1$ , и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача решена до степени $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=6$ включительно, а для степени $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=8$ довольно много известно. Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=6$ есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.
↑ Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» Архивировано 8 апреля 2012 года. (нем.). Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса Архивная копия от 25 августа 2018 на Wayback Machine (англ.)), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
↑ Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.
↑ Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. — М., Мир, 1974
↑ MacShane Generalized curves. Duke math. J., 6 (1940), 513—536
↑ Гамкрелидзе Р. В. О скользящих оптимальных режимах // ДАН СССР, 143 (1962), 1243—1245
↑ Hilbert’s twenty-fourth problem Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine. Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly, January 2003.
↑ cdate=2008-09-29 The world's 23 toughest math questions (неопр.). Дата обращения: 23 ноября 2019. Архивировано 9 февраля 2014 года.
↑ DARPA Mathematics Challenge solicitation (неопр.) (26 сентября 2008). Дата обращения: 23 ноября 2019. Архивировано 12 января 2019 года.

ЛитератураПравить

Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. 2. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования. — М. : Наука, 1966. — № 17. — С. 91—122.
Демидов С. С. «Математические проблемы» Гильберта и математика XX века // Историко-математические исследования. — М. : Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 84—99.
Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семёнов В. В. Двадцатая проблема Гильберта : Обобщённые решения операторных уравнений. — М. : Диалектика, 2009. — 192 с. — ISBN 978-5-8459-1524-5.
Проблемы Гильберта : сб. / под ред. П. С. Александрова. — М. : Наука, 1969. — 240 с.

СсылкиПравить

Оригинальный текст на немецком доклада Гильберта
Русский перевод доклада Гильберта (вводная часть и заключение)

[Hilbert_1902-1] Hilbert, David. Mathematical Problems (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — 1902. — Vol. 8, no. 10. — P. 437—479. — doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3. Earlier publications (in the original German) appeared in Hilbert, David. Mathematische Probleme (неопр.) // Göttinger Nachrichten. — 1900. — С. 253—297. and Hilbert, David. [no title cited] (неопр.) // Archiv der Mathematik und Physik. — 1901. — Т. 1, 3. — С. 44—63, 213—237.

[2] Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).

[3] Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε₀.

[4] Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.

[5] L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.

[6] Более того, решение проблемы о получении динамики континуума из атомистического описания может быть отрицательным: Marshall Slemrod, Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi:10.1098/rsta.2017.0222

[7] Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то a^b — трансцендентное число

[8] Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена совсем, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.

[9] Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has… (неопр.) Дата обращения: 21 июня 2013. Архивировано 8 августа 2013 года.

[10] Major arcs for Goldbach’s theorem Архивная копия от 29 июля 2013 на Wayback Machine, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897

[11] Goldbach Variations Архивная копия от 16 декабря 2013 на Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013

[12] Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Архивная копия от 23 июня 2013 на Wayback Machine // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913

[13] Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.

[14] Юрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.

[15] Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.

[16] Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $M=(n-1)(n-2)/2+1$ , и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача решена до степени $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=6$ включительно, а для степени $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=8$ довольно много известно. Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n=6$ есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.

[17] Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» Архивировано 8 апреля 2012 года. (нем.). Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса Архивная копия от 25 августа 2018 на Wayback Machine (англ.)), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.

[18] Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.

[19] Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.

[20] Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. — М., Мир, 1974

[21] MacShane Generalized curves. Duke math. J., 6 (1940), 513—536

[22] Гамкрелидзе Р. В. О скользящих оптимальных режимах // ДАН СССР, 143 (1962), 1243—1245

[23] Hilbert’s twenty-fourth problem Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine. Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly, January 2003.

[24] te=2008-09-29 The world's 23 toughest math questions (неопр.). Дата обращения: 23 ноября 2019. Архивировано 9 февраля 2014 года.

[25] DARPA Mathematics Challenge solicitation (неопр.) (26 сентября 2008). Дата обращения: 23 ноября 2019. Архивировано 12 января 2019 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]