Восьмая проблема Гильберта

Восьмая проблема Гильберта — одна из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его докладе^[1]^[2] на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Восьмая проблема Гильберта состоит из двух задач, относящихся к теории простых чисел. Это гипотеза Римана и проблема Гольдбаха.

Гипотеза РиманаПравить

Гипотеза Римана и утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${1 \over 2}$ . Многие утверждения о распределении простых чисел доказаны в предположении справедливости гипотезы Римана. В настоящее время (2021 год) она не доказана и входит в список семи проблем тысячелетия.

Проблема ГольдбахаПравить

Проблема Гольдбаха состоит из двух гипотез.

Бинарная гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Более слабая тернарная гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Из справедливости бинарной гипотезы вытекает справедливость тернарной гипотезы Гольдбаха, но в настоящее время бинарная гипотеза Гольдбаха не доказана. Иван Виноградов в 1937 году доказал, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю при росте длины рассматриваемого отрезка). Из справедливости доказанной тернарной гипотезы Гольдбаха вытекает, что любое чётное число — сумма не более чем 4 простых чисел.

Виноградов в 1937 году доказал справедливость тернарной гипотезы Гольдбаха для всех чисел, больших некоторой константы^[3]. Однако нижняя граница оказалось настолько большой, что проверить остальные числа с помощью компьютера в XX веке не удалось. Для всех чисел теорема была доказана только в 2013 году Харальдом Гельфготтом^[4]

ПримечанияПравить

↑ David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Дата обращения: 27 августа 2009. Архивировано 8 апреля 2012 года.
↑ Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 28 сентября 2014. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 года.Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 28 сентября 2014. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 года.
↑ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Выпуск 11
↑ Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has… (неопр.) Дата обращения: 28 сентября 2014. Архивировано 8 августа 2013 года.

ЛитератураПравить

Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз. Архивная копия от 17 октября 2011 на Wayback Machine

[1] David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Дата обращения: 27 августа 2009. Архивировано 8 апреля 2012 года.

[2] Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 28 сентября 2014. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 года.Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 28 сентября 2014. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 года.

[3] СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Выпуск 11

[4] Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has… (неопр.) Дата обращения: 28 сентября 2014. Архивировано 8 августа 2013 года.

[1]

[2]

[3]

[4]