Квадрат

Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой $({90}^{\circ <!--\; \circ \; -->})$$(90^{\circ })$.

Квадрат
Квадрат со стороной $a$$a$ и диагональю $d$$d$
Рёбра	4
Символ Шлефли	{4}
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D4)
Площадь	a2
Внутренний угол	90°
Свойства
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура
Медиафайлы на Викискладе

Варианты определенияПравить

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами.

• Геометрическая фигура, являющаяся одновременно прямоугольником и ромбом.
• Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
• Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
• Ромб, у которого диагонали равны.
• Ромб, у которого два соседних угла равны.
• Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
• Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
• Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
• Дельтоид, все углы которого прямые.

СвойстваПравить

Основной источник:

Далее в этом разделе $a$$a$  обозначает длину стороны квадрата, $d$$d$  — длину диагонали, $R$$R$  — радиус описанной окружности, $r$$r$  — радиус вписанной окружности.

Периметр квадрата $P$$P$  равен:

$P=4a=4\sqrt{2}R=8r$$P=4a=4{\sqrt {2}}R=8r$ .

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали $d=a\sqrt{2}.$$d=a{\sqrt {2}}.$ 

Вписанная и описанная окружностиПравить

 

Вписанная и описанная окружности для квадрата

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

$r=\frac{a}{2}.$$r={\frac {a}{2}}.$ 

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

$R=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$$R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.$ 

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

ПлощадьПравить

•  

  Площадь квадрата
•  

  Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь $S$$S$  квадрата равна

$S=a^2=2R^2=4r^2=\frac{1}{2}{d}^2$$S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 \over 2}d^{2}$ .

Из формулы $S=a^2,$$S=a^{2},$  связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства.

1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

 

К уравнению квадрата; здесь $R=2,x_0=y_0=0$$R=2,x_{0}=y_{0}=0$ 

Уравнение квадратаПравить

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке $\{x_0,y_0\}$$\{x_{0},y_{0}\}$  и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде:

$|x-<!--\; -\; -->x_0|+|y-<!--\; -\; -->y_0|=R,$$|x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,$ 

где $R$$R$  — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна $R\sqrt{2},$$R{\sqrt {2}},$  его диагональ равна $2R,$$2R,$  а площадь квадрата равна $2R^2.$$2R^{2}.$ 

 

К уравнению квадрата

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

1. $|x-<!--\; -\; -->y|+|x+y|=a$$|x-y|+|x+y|=a$  (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
   
2. $max(x^2,y^2)=r^2$$\max(x^{2},y^{2})=r^{2}$ 
3. (в полярных координатах) $r(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=min\left(\frac{r}{|\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}|},\frac{r}{|\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}|}\right)$$\quad r(\varphi )=\min \left({\frac {r}{|\cos \varphi |}},{\frac {r}{|\sin \varphi |}}\right)$ 

Математические проблемыПравить

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

• Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

 

Пример квадрирования квадрата $112\times <!--\; \times \; -->112$$112\times 112$ 

• Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
• Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
• Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
• Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

СимметрияПравить

 

Линии симметрии

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

• одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
• четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

ПрименениеПравить

В математикеПравить

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике квадрат может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

$\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}u:=\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}$$\square u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$ 

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно).

Графы: K₄ полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

3-симплекс (3D)

Орнаменты и паркетыПравить

• Мозаики, включающие квадраты
•  
•  
•  

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие примененияПравить

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

ГрафикаПравить

Символы со сходным начертанием: ロ · ⼝ · ⼞

Ряд символов имеют форму квадрата.

• Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
• U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
• ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
• 口 (Китайский иероглиф «рот»)
• 囗 (Китайский иероглиф «ограда»)

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box или \square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

• <img style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</img>; результат: text.

Вариации и обобщенияПравить

Многомерное пространствоПравить

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрияПравить

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

 

Построение квадрата с использованием циркуля и линейки

 

Складывание квадрата из произвольного куска бумаги

См. такжеПравить

• Алгоритм «движущиеся квадраты»
• Квадрат Полибия
• Квадратная матрица
• Квадратриса
• Площадь произвольного четырёхугольника
• Первая теорема Тебо

ЛитератураПравить

• Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д.: ООО "Феникс", 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

СсылкиПравить

• Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.