Гипотеза Тёплица

Гипотеза Тёплица, также известная как гипотеза о вписанном квадрате — нерешённая проблема геометрии. Формулировка гипотезы:

Пунктирная кривая проходит через вершины нескольких квадратов

На всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, лежащие в вершинах квадрата.

Гипотеза Тёплица верна для выпуклых кривых, кусочно-гладких кривых и в других специальных случаях. Проблема была сформулирована Отто Тёплицем в 1911 году^[1]. Ранние положительные результаты были получены Арнольдом Эмчем^[2] и Львом Шнирельманом^[3]. Для гладких кривых задача решена.^[4]

ОписаниеПравить

Пусть C — кривая Жордана. Многоугольник P вписан в C , если все вершины P принадлежат C. Проблема вписанного квадрата заключается в следующем:

Можно ли на каждой кривой Жордана отыскать вписанный квадрат?

При этом не требуется, чтобы вершины квадрата находились в каком-либо определённом порядке.

Для некоторых кривых, например, для окружности и квадрата, можно указать бесконечно много вписанных квадратов. В тупоугольный треугольник можно вписать ровно один квадрат.

Вальтер Стромквист доказал, что в каждую локально монотонную простую плоскую кривую можно вписать квадрат^[5]. Доказательство применимо к кривым C, обладающим свойством локальной монотонности: для любой точки p, лежащей на C, существует такая окрестность U(p), что ни одна хорда C в этой окрестности не является параллельной заданному направлению n(p) (направлению оси ординат). К локально монотонным кривым относятся все выпуклые кривые и все кусочно-заданные непрерывно дифференцируемые кривые без точек возврата.

Утвердительный ответ также известен для центрально симметричных кривых^[6].

Варианты и обобщенияПравить

Известно, что для любого заданного треугольника T и жордановой кривой C существует треугольник, подобный T и вписанный в C^[7]^[8]. Более того, множество вершин таких треугольников является плотным в C^[9]. В частности, всегда существует вписанный равносторонний треугольник. Также в любую жорданову кривую можно вписать прямоугольник.

В некоторых обобщениях проблемы вписанного квадрата рассматриваются вписанные в кривые многоугольники. Существуют также обобщения для многомерных евклидовых пространств. Так, Стромквист доказал, что в любую непрерывную замкнутую кривую $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C\in R^{n}$ , удовлетворяющую «условию A», можно вписать четырёхугольник с равными сторонами и равными диагоналями; «условие A» заключается в том, что никакие две хорды C в соответствующей окрестности любой точки не должны быть перпендикулярными^[5]. Этот класс кривых включает все кривые C². Нильсен и Райт доказали, что любой симметричный континуум $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $K\in R^{n}$ содержит вписанные прямоугольники^[6]. Генрих Гуггенхаймер доказал, что любая гиперповерхность, C³-диффеоморфная сфере Sⁿ⁻¹, содержит 2ⁿ вершин правильного евклидова гиперкуба^[10].

ПримечанияПравить

↑ Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197.
↑ Emch, Arnold (1916), On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs, American Journal of Mathematics Т. 38 (1): 6–18, DOI 10.2307/2370541
↑ Лев Шнирельман. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых // УМН. — 1944. — Т. 10. — С. 34—44.
↑ The Rectangular Peg Problem, May 19, 2020, <https://arxiv.org/abs/2005.09193> Архивная копия от 27 июня 2020 на Wayback Machine
↑ ¹ ² Stromquist, Walter (1989), Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves, Mathematika Т. 36 (2): 187–197, DOI 10.1112/S0025579300013061
↑ ¹ ² Nielsen, Mark J. & Wright, S. E. (1995), Rectangles inscribed in symmetric continua, Geometriae Dedicata Т. 56 (3): 285–297, DOI 10.1007/BF01263570
↑ Meyerson, Mark D. (1980), Equilateral triangles and continuous curves, Fundamenta Mathematicae Т. 110 (1): 1–9 .
↑ Kronheimer, E. H. & Kronheimer, P. B. (1981), The tripos problem, Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 24 (1): 182–192, DOI 10.1112/jlms/s2-24.1.182
↑ Nielsen, Mark J. (1992), Triangles inscribed in simple closed curves, Geometriae Dedicata Т. 43 (3): 291–297, DOI 10.1007/BF00151519
↑ Guggenheimer, H. (1965), Finite sets on curves and surfaces, Israel Journal of Mathematics Т. 3: 104–112, DOI 10.1007/BF02760036

Дополнительная литератураПравить

Victor Klee and Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, Number 11, Mathematical Association of America, 1991

Внешние ссылкиПравить

Mark J. Nielsen, Figures Inscribed in Curves. A short tour of an old problem Архивная копия от 12 января 2015 на Wayback Machine
Inscribed squares: Denne speaks Архивная копия от 22 декабря 2014 на Wayback Machine at Jordan Ellenberg's blog

[1] Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197.

[2] Emch, Arnold (1916), On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs, American Journal of Mathematics Т. 38 (1): 6–18, DOI 10.2307/2370541

[3] Лев Шнирельман. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых // УМН. — 1944. — Т. 10. — С. 34—44.

[4] The Rectangular Peg Problem, May 19, 2020, <https://arxiv.org/abs/2005.09193> Архивная копия от 27 июня 2020 на Wayback Machine

[stromquist-5] ¹ ² Stromquist, Walter (1989), Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves, Mathematika Т. 36 (2): 187–197, DOI 10.1112/S0025579300013061

[nielsen-wright-6] ¹ ² Nielsen, Mark J. & Wright, S. E. (1995), Rectangles inscribed in symmetric continua, Geometriae Dedicata Т. 56 (3): 285–297, DOI 10.1007/BF01263570

[7] Meyerson, Mark D. (1980), Equilateral triangles and continuous curves, Fundamenta Mathematicae Т. 110 (1): 1–9 .

[8] Kronheimer, E. H. & Kronheimer, P. B. (1981), The tripos problem, Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 24 (1): 182–192, DOI 10.1112/jlms/s2-24.1.182

[9] Nielsen, Mark J. (1992), Triangles inscribed in simple closed curves, Geometriae Dedicata Т. 43 (3): 291–297, DOI 10.1007/BF00151519

[10] Guggenheimer, H. (1965), Finite sets on curves and surfaces, Israel Journal of Mathematics Т. 3: 104–112, DOI 10.1007/BF02760036

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]