Польское пространство

Польское пространство — пространство, гомеоморфное полному метрическому пространству со счётным плотным подмножеством.

ПримерыПравить

• Вещественная прямая
  • Любое открытое или замкнутое подмножество вещественной прямой

• сепарабельное Банахово пространство

• Множество Кантора

• Пространство Урысона

СвойстваПравить

• Замкнутое подмножество польского пространства польское.

• Открытое подмножество польского пространства польское.
  • (Теорема Александрова) Любое G-дельта-множество польского пространства польское;
    • Верно и обратное, если подмножество польского пространства польское, то оно является G-дельта-множеством.

• Прямое произведение польских пространств польское.

• Между любыми двумя несчётными польскими пространствами существует Борелевская биекция. То есть биекция, которая переводит борелевские множества в борелевские.
  • В частности, каждое несчётное польское пространство имеет мощность континуума.

• (Теорема Кантора — Бендиксона) любое замкнутое подмножество в польском пространстве представляется в виде дизъюнктного объединения совершенного подмножества, счётного и открытого подмножества.

ЛитератураПравить

• В. Г. Кановей, В. А. Любецкий. Современная теория множеств: борелевские и проективные множества. — МЦНМО, 2010. — 320 с. — ISBN 78-5-94057-683-9.