Это не официальный сайт wikipedia.org 01.01.2023

Совершенное множество — Википедия

Совершенное множество

(перенаправлено с «Теорема Кантора — Бендиксона»)

Совершенное множествозамкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

ПримерыПравить

СвойстваПравить

  • Всякое непустое совершенное множество евклидова пространства имеет мощность континуума (обобщение теоремы Кантора о том, что каждое совершенное множество на отрезке числовой оси имеет мощность континуума)[1].
  • Множество точек конденсации любого множества является совершенным.

Теорема Кантора — БендиксонаПравить

Теорема Кантора — Бендиксона является утверждением о структуре всякого несчётного замкнутого множества. Эта теорема обобщена на случай подмножеств метрического пространства со счётной базой (см. теорема Линделёфа)

ФормулировкаПравить

Всякое несчётное замкнутое множество M   есть сумма совершенного множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек.

ДоказательствоПравить

Доказательство опирается на три теоремы. Оно вытекает из теорем 2 и 3. Для доказательства достаточно заметить, что множество точек конденсации N M   в силу замкнутости M  .

Теорема 1Править

Для того, чтобы точка a   была точкой конденсации множества M  , необходимо и достаточно, чтобы любая рациональная окрестность точки a   содержала несчётное множество точек из M  .

ПоясненияПравить

Рациональной окрестностью точки a   называется любой интервал с рациональными концами, содержащими эту точку, которая может и не быть центром интервала.

ДоказательствоПравить
НеобходимостьПравить

Пусть a   — точка конденсации и ( r , r )   — произвольная рациональная окрестность точки a  . Выберем δ < min ( | r a | , | r a | )  . Тогда окрестность ( a δ , a + δ )   точки a   попадёт целиком в ( r , r )  . Так как a   — точка конденсации, то ( a δ , a + δ )  , а тем самым и ( r , r )  , будут содержать несчётное множество точек из M  .

ДостаточностьПравить

Пусть любая рациональная окрестность точки a   содержит несчётное множество точек из M  . Рассмотрим произвольную окрестность ( a δ , a + δ )   точки a   и пусть r   и r   — два рациональных числа, расположенные соответственно между a δ   и a   и между a   и a + δ  . Тогда в окрестность ( a δ , a + δ )   попадёт целиком рациональная окрестность ( r , r )   а вместе с ней и несчётное множество точек из M  . Но это значит, что a   есть точка конденсации.

Теорема 2Править

ФормулировкаПравить

Всякое несчётное множество M   содержит несчётное множество своих точек конденсации.

ДоказательствоПравить

Пусть R   — множество точек из M  , не являющимися точками конденсации множества M  . Если R =  , то доказывать нечего. Пусть R   и x R   . Так как x   не является точкой конденсации, то найдется рациональная окрестность ( r x , r x )   точки x  , содержащая не более счётного множества точек из M  , в том числе точек из R  . Таким образом, все множество R   может быть заключено в некоторую систему рациональных интервалов, каждый из которых содержит не более счётного числа точек из R  . Так как всех рациональных интервалов счётное множество, то отсюда следует, что R   также не более чем счётно. Тогда M R   — множество точек конденсации множества M   несчетно.

Теорема 3Править

ФормулировкаПравить

Множество N   точек конденсации несчётного множества M   совершенно.

ДоказательствоПравить

Покажем сначала, что N   замкнуто. Пусть x N   и ( r x , r x )   — произвольный рациональный интервал, содержащий точку x  . Для достаточно малого δ   интервал ( x δ , x + δ )   попадёт целиком внутрь ( r x , r x )  . Так как x   — предельная точка для множества точек конденсации, то ( x δ , x + δ )   содержит хотя бы одну точку конденсации x 0  , а вместе с ней и некоторую окрестность точки x 0  . Но тогда эта окрестность, а следовательно, и ( r x , r x )  , содержит несчётное множество точек из M  , и поскольку ( r x , r x )   — произвольная рациональная окрестность точки x  , то x   есть точка конденсации, то есть x N  . Покажем, что N   не содержит изолированных точек. Пусть x 0   — произвольная точка из N   и ( x 0 η , x 0 + η )   — произвольная окрестность точки x 0  . Тогда эта окрестность содержит несчётное множество точек из M   . Рассмотрим несчётное множество M 1 = M ( x 0 η , x 0 + η )  . По теореме 1 оно содержит несчётное множество своих точек конденсации. Каждая точка конденсации для M 1   есть в то же время точка конденсации для M  . Следовательно, внутрь ( x 0 η , x 0 + η )   попадает несчётное множество точек из N  , и, таким образом, x 0   не является изолированной точкой этого множества.

ПримечанияПравить

  1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — С. 65. — 436 с.

ЛитератураПравить

  • Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968. — С. 79.