Постоянные Ламе

Не следует путать с коэффициентами Ламе в дифференциальной геометрии.

Постоя́нные Ламе́, упругие постоянные Ламе, , коэффициенты Ламе, константы Ламе, модули упругости Ламе (названные в честь французского математика Габриэля Ламе) — материальные константы^[de], характеристики упругих деформаций изотропных твёрдых тел, принадлежащие к множеству модулей упругости.

В линейной теории упругости закон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{T}\mathrm{r}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})I+2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}.$$\sigma =\lambda \;\mathrm {Tr} (\varepsilon )I+2\mu \varepsilon .$

Здесь λ называется первым коэффициентом Ламе, а μ — вторым коэффициентом Ламе или модулем сдвига.

Определение через энергиюПравить

Энергия упругой деформации является квадратичной формой тензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени. Такими скалярами являются ${\left(\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ii}\right)}^2$$\left(\sum _{i}\varepsilon _{ii}\right)^{2}$  и $\underset{i,k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ik}^2$$\sum _{i,k}\varepsilon _{ik}^{2}$ .

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

$F=\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{2}{\left(\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ii}\right)}^2+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\underset{i,k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ik}^2$$F={\frac {\lambda }{2}}\left(\sum _{i}\varepsilon _{ii}\right)^{2}+\mu \sum _{i,k}\varepsilon _{ik}^{2}$ .

Связь с другими модулями упругостиПравить

Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига.

Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

$K=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+\frac{2}{3}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$K=\lambda +{\frac {2}{3}}\mu$ 

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=\frac{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}E}{(1+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})(1-<!--\; -\; -->2\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}$$\lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$ 

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\frac{E}{2(1+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}$$\mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}$ 

ЛитератураПравить

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.VII. Теория упругости. — Наука, 1987.