Закон Гука

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), прямо пропорциональна силе упругости, возникающей в этом теле. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.

Видеоурок: закон Гука

Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между силой и деформацией становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Закон Гука для тонкого стержняПравить

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

$F=k\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}l.$$F=k\Delta l.$ 

Здесь $F$$F$  — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}l$$\Delta l$  — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а $k$$k$  — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения $S$$S$  и длины $L$$L$ ) явно, записав коэффициент упругости как

$k=\frac{ES}{L}.$$k={\frac {ES}L}.$ 

Величина $E$$E$  называется модулем упругости первого рода, или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}l}{L}$$\varepsilon ={\frac {\Delta l}L}$ 

и нормальное напряжение в поперечном сечении

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\frac{F}{S},$$\sigma ={\frac FS},$ 

то закон Гука для относительных величин запишется как

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=E\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}.$$\sigma =E\varepsilon \ .$ 

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}l=\frac{FL}{ES}.$$\Delta l={\frac {FL}{ES}}.$ 

Закон Гука и измерение силыПравить

Закон Гука лежит в основе измерения сил пружинным механическим динамометром. В этом приборе измеряемая сила передаётся пружине, которая в зависимости от направления силы сжимается или растягивается. Величина упругой деформации пружины пропорциональна силе воздействия и регистрируется.

Принципиальная возможность измерения обеспечивается уже свойством упругости, но без закона Гука упомянутая пропорциональность отсутствовала бы и градуировочная шкала стала бы неравномерной, что неудобно.

Обобщённый закон ГукаПравить

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга $C_{ijkl}$$C_{{ijkl}}$  и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора $C_{ijkl}$$C_{{ijkl}}$ , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}=\underset{kl}{\sum <!--\; \sum \; -->}{C}_{ijkl}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{kl},$$\sigma _{{ij}}=\sum _{{kl}}C_{{ijkl}}\cdot \varepsilon _{{kl}},$ 

где ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}$$\sigma_{ij}$  — тензор напряжений, ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{kl},$$\varepsilon _{{kl}},$  — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор $C_{ijkl}$$C_{{ijkl}}$  содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_x=\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x}{E}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{E}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{E}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_z$$\varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{y}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{z}$ 

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_y=\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y}{E}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{E}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{E}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_z$$\varepsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{x}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{z}$ 

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_z=\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_z}{E}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{E}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{E}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_y$$\varepsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{x}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{y}$ 

${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{xy}=\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{xy}}{G}$$\gamma _{{xy}}={\frac {\tau _{{xy}}}{G}}$ 

${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{yz}=\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{yz}}{G}$$\gamma _{{yz}}={\frac {\tau _{{yz}}}{G}}$ 

${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{xz}=\frac{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{xz}}{G}$$\gamma _{{xz}}={\frac {\tau _{{xz}}}{G}}$ 

где:

• $E$$E$  — модуль Юнга;
• $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — коэффициент Пуассона;
• $G=\frac{E}{2(1+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}$$G={\frac {E}{2(1+\mu )}}$  — модуль сдвига.

См. такжеПравить

• Модуль Юнга