Объёмный модуль упругости

Объёмный мо́дуль упру́гости (модуль объёмного или всестороннего сжатия) — характеристика способности вещества сопротивляться всестороннему сжатию. Эта величина определяет связь между относительным изменением объёма тела и вызвавшим это изменение давлением. Например, у воды объёмный модуль упругости составляет около 2000 МПа; это число показывает, что для уменьшения объёма воды на 1 % необходимо приложить внешнее давление величиной 20 МПа. С другой стороны, при увеличении внешнего давления на 0,1 МПа объём воды уменьшается на 1/20 000 часть. Единицей измерения объёмного модуля упругости в Международной системе единиц (СИ) является паскаль (русское обозначение: «Па»; международное: «Pa»).

ОпределениеПравить

Модуль объёмной упругости определяется формулой:

$K=-<!--\; -\; -->V\frac{dp}{dV},$$K=-V{\frac {dp}{dV}},$ 

где $p$$p$  — давление, а $V$$V$  — объём.

Величина, обратная модулю объёмной упругости, называется коэффициентом объёмного сжатия.

Можно показать, что в случае изотропного тела модуль объёмной упругости может быть выражен через любые две из нижеперечисленных величин: модуль Юнга $E$$E$ , коэффициент Пуассона $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$ , модуль сдвига $G$$G$ , первый параметр Ламэ $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ :

$K=\frac{E}{3(1-<!--\; -\; -->2\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}.$$K={\frac {E}{3(1-2\nu )}}.$ 

$K=\frac{EG}{3(3G-<!--\; -\; -->E)}.$$K={\frac {EG}{3(3G-E)}}.$ 

$K=\frac{E+3\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+\sqrt{E^2+9{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2+2E\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}{6}.$$K={\frac {E+3\lambda +{\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}{6}}.$ 

$K=\frac{2G(1+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}{3(1-<!--\; -\; -->2\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}.$$K={\frac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}.$ 

$K=\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(1+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}{3\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}.$$K={\frac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}.$ 

$K=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+\frac{2G}{3}.$$K=\lambda +{\frac {2G}{3}}.$ 

Термодинамические соотношенияПравить

Строго говоря, объёмный модуль упругости является термодинамической величиной, и необходимо определить объёмный модуль упругости в зависимости от условий изменения температуры: при постоянной температуре (изотермический $K_T$$K_{T}$ ), при постоянной энтропии (адиабатический $K_S$$K_{S}$ ) и т. д. В частности, подобные различия обычно важны для газов.

В случае идеального газа изотермический и адиабатический модули объёмной упругости выражаются простыми формулами. Так, из уравнения изотермы идеального газа $p=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}}{V}$$p={\frac {\mathrm {const} }{V}}$  следует:

$K_T=P.$$K_{T}=P\,.$ 

Используя уравнение адиабаты $p\cdot <!--\; \cdot \; -->V^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$$p\,\cdot V^{\gamma }=\mathrm {const} ,$  можно получить

$K_S=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}P,$$K_{S}=\gamma P,$ 

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — показатель адиабаты.

Приведённые уравнения, выполняющиеся точно для идеальных газов, применительно к реальным газам становятся приближёнными.

Для жидкостей объёмный модуль упругости K и плотность ρ определяют скорость звука c (волны давления^[en]), согласно формуле Ньютона-Лапласа

$c=\sqrt{\frac{K}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}.$$c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.$ 

ИзмерениеПравить

Объёмный модуль упругости можно измерить с помощью порошковой рентгеновской дифракции, акустополяризационного метода (для твердых сред).

Некоторые значенияПравить

Приблизительные значения объёмного модуля упругости (К) для некоторых материалов

Материал	Объёмный модуль упругости в ГПа	Объёмный модуль упругости в фунт-силе на квадратный дюйм
Стекло (см. также диаграмму ниже таблицы)	от 35 до 55	5,8⋅103
Сталь	160	23⋅103
Алмаз	442	64⋅103

 

Влияние некоторых примесей, добавляемых в стекло, на его объёмный модуль упругости

Приблизительный значения объёмного модуля упругости (K) для других веществ

Вода	2,2⋅109 Па (значение возрастает при более высоких давлениях)
Воздух	1,42⋅105 Па (Адиабатический объёмный модуль упругости)
Воздух	1,01⋅105 Па (объёмный модуль упругости при постоянной температуре)
Твёрдый гелий	5⋅107 Па (приблизительно)