Оператор сдвига

Эта статья — об операторе сдвига в математике. Об операторах в языках программирования см. Битовая операция.

В математике, и, в частности, в функциональном анализе, оператор сдвига, также известный как оператор трансляции, — это оператор, который переводит функцию x ↦ f(x) в её трансляцию x ↦ f(x + a). В анализе временных рядов оператор сдвига называется лаговым оператором.

Операторы сдвига являются примерами линейных операторов, важных своей простотой и естественной распространённостью. Действие оператора сдвига на функции вещественного переменного играет важную роль в гармоническом анализе, например, он встречается в определениях почти периодических функций, положительно-определённых функций, производных и свёртки. Сдвиги последовательностей (функций целого переменного) появляются в различных областях, таких как пространства Харди, теория абелевых многообразий и теория символической динамики, для которых отображение пекаря является явным представлением.

ОпределениеПравить

Функции вещественной переменнойПравить

Оператор сдвига T^t (где t ∈ R) переводит функцию f на R в её трансляцию f_t ,

$T^{t}f(x)=f_t(x)=f(x+t).$$T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.$ 

В операционном исчислении, практическое представление линейного оператора T^t в терминах простой производной ddx было введено Лагранжем,

$T^t=e^{t\frac{d}{dx}},$$T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,$

что может быть интерпретировано операционально через формальное разложение Тейлора по t; по биному Ньютона очевидно действие оператора на одночлен xⁿ, и, следовательно, на все ряды по x, а значит, и на все функции f(x), как указано выше. Таким образом, формально это кодировка разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор является прототипом адвективного потока Ли для абелевых групп,

$e^{t\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)\frac{d}{dx}}f(x)=e^{t\frac{d}{dh}}F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-<!--\; -\; -->1}(h(x)+t)\right),$$e^{t\beta (x){\frac {d}{dx}}}f(x)=e^{t{\frac {d}{dh}}}F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),$ 

где канонические координаты h (функции Абеля^[en]) определены так, что

$h^{\prime }(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)},f(x)\equiv <!--\; \equiv \; -->F(h(x)).$$h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).$ 

Например, из этого легко следует, что $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=x$$\beta (x)=x$  даёт масштабирование,

$e^{tx\frac{d}{dx}}f(x)=f(e^{t}x),$$e^{tx{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(e^{t}x),$ 

следовательно $e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x\frac{d}{dx}}f(x)=f(-<!--\; -\; -->x)$$e^{i\pi x{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(-x)$  (чётность); аналогично, $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=x^2$$\beta (x)=x^{2}$  даёт

$e^{t{x}^2\frac{d}{dx}}f(x)=f\left(\frac{x}{1-<!--\; -\; -->tx}\right),$$e^{tx^{2}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),$ 

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=1/x$$\beta (x)=1/x$  даёт

$e^{\frac{t}{x}\frac{d}{dx}}f(x)=f\left(\sqrt{x^2+2t}\right),$$e^{{\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),$ 

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=e^x$$\beta (x)=e^{x}$  даёт

$\exp <!--\; \; -->\left(t{e}^x\frac{d}{dx}\right)f(x)=f\left(\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1}{e^{-<!--\; -\; -->x}-<!--\; -\; -->t}\right)\right),$$\exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),$ 

и т.д.

Начальное условие потока и свойство группы полностью определяют весь поток Ли, предоставляя решение функционального уравнения трансляции

$f_t(f_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x))=f_{t+\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}(x).$$f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).$ 

ПоследовательностиПравить

Оператор левого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

$S^{\ast <!--\; \ast \; -->}:(a_1,a_2,a_3,\dots <!--\; \dots \; -->)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(a_2,a_3,a_4,\dots <!--\; \dots \; -->)$$S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )$ 

и на двухсторонние бесконечные последовательности чисел:

$T:(a_k{)}_{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(a_{k+1}{)}_{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}.$$T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.$ 

Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

$S:(a_1,a_2,a_3,\dots <!--\; \dots \; -->)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(0,a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->)$$S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )$ 

и на двусторонние бесконечные последовательности:

$T^{-<!--\; -\; -->1}:(a_k{)}_{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(a_{k-<!--\; -\; -->1}{)}_{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}.$$T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.$ 

Операторы сдвига вправо и влево, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

Абелевы группыПравить

В целом, как было показано выше, если F есть функция абелевой группы G, а h есть элемент из G, то оператор сдвига T ^g отображает F в

$F_g(h)=F(h+g).$$F_{g}(h)=F(h+g).$ 

Свойства оператора сдвигаПравить

Оператор сдвига, действующий на вещественные или комплекснозначные функции или последовательности, является линейным оператором, сохраняющим большинство стандартных норм, которые встречаются в функциональном анализе. Поэтому он обычно является непрерывным оператором с 1-нормой.

Действие на гильбертовых пространствахПравить

Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, является унитарным оператором на ℓ₂(Z). Оператор сдвига, действующий на функции вещественного переменного, является унитарным оператором на L₂(R).

В обоих случаях (левый) оператор сдвига удовлетворяет следующему коммутативному соотношению с преобразованием Фурье:

$$\mathcal{F}{T}^t=M^t\mathcal{F},$$

 

где M^t — оператор умножения^[en] на exp(itx). Поэтому спектр T^t — единичный круг.

Односторонний сдвиг S, действующий на ℓ₂(N), является собственной изометрией с областью значений функции, равной всем векторам, которые исчезают в первой координате. Оператор S является сжатием T^-1, в том смысле, что

$$T^{-<!--\; -\; -->1}y=Sx\text{, }x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2(\mathbb{N}),$$

 

где y — вектор в ℓ₂(Z) с y_i = x_i для i ≥ 0 и y_i = 0 для i < 0. Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарных расширений изометрий.

Спектр S — это единичный диск. Сдвиг S является одним из примеров оператора Фредгольма; он имеет индекс Фредгольма -1.

ОбобщениеПравить

Жан Дельсарт ввёл понятие обобщённого оператора сдвига (также называемого обобщённым оператором смещения); в дальнейшем оно было развито Борисом Левитаном.

Семейство операторов {L^x}_{x ∈ X}, действующих на пространстве Φ функций из множества X в C, называется семейством обобщённых операторов сдвига, если выполняются следующие свойства:

1. Ассоциативность: пусть (R^yf)(x) = (L^xf)(y). Тогда L^xR^y = R^yL^x.
2. Существует e в X такое, что L^e — оператор тождества.

В этом случае множество X называется гипергруппой.

См. такжеПравить

• Арифметический (знаковый) сдвиг
• Логический (беззнаковый) сдвиг
• Конечные разности
• Оператор импульса

ЛитератураПравить

• Partington, Jonathan R. Linear Operators and Linear Systems. — Cambridge University Press, March 15, 2004. — ISBN 978-0-521-83734-7. — doi:10.1017/cbo9780511616693.
• Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, (1985) Oxford University Press.