Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.

ОпределениеПравить

 

Три типа конечных разностей.

Пусть для некоторой точки $x_0$$x_{0}$  задано $n+1$$n+1$  узлов интерполяции $x_k=x_0+hk,k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$x_{k}=x_{0}+hk,\;k=0,\ldots ,n$  с шагом $h=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$h=\mathrm {const}$  и известны значения функции $f$$f$  в этих узлах:

$f(x_0)=y_0,\dots <!--\; \dots \; -->,f(x_n)=y_n.$$f(x_{0})=y_{0},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}.$ 

Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между $(k+1)$$(k+1)$ -м и $k$$k$ -м значениями $f$$f$  в узлах интерполяции, то есть

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{y}_k=y_{k+1}-<!--\; -\; -->y_k=f(x_{k+1})-<!--\; -\; -->f(x_k),k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1.$$\Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}=f(x_{k+1})-f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-1.$ 

Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между $k$$k$ -м и $(k-<!--\; -\; -->1)$$(k-1)$ -м значениями $f$$f$  в узлах интерполяции, то есть

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{y}_k=y_k-<!--\; -\; -->y_{k-<!--\; -\; -->1}=f(x_k)-<!--\; -\; -->f(x_{k-<!--\; -\; -->1}),k=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n.$$\nabla y_{k}=y_{k}-y_{k-1}=f(x_{k})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n.$ 

Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между $(k+1)$$(k+1)$ -м и $(k-<!--\; -\; -->1)$$(k-1)$ -м значениями $f$$f$  в узлах интерполяции, то есть

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{y}_k=y_{k+1}-<!--\; -\; -->y_{k-<!--\; -\; -->1}=f(x_{k+1})-<!--\; -\; -->f(x_{k-<!--\; -\; -->1}),k=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1.$$\delta \,y_{k}=y_{k+1}-y_{k-1}=f(x_{k+1})-f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots ,n-1.$ 

Разности высших порядковПравить

Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между $(k+1)$$(k+1)$ -ой и $k$$k$ -ой конечными разностями 1-го порядка, то есть

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^2{y}_k=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{y}_k)=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{y}_{k+1}-<!--\; -\; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{y}_k=f(x_{k+2})-<!--\; -\; -->2f(x_{k+1})+f(x_k),k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->2.$$\Delta ^{2}y_{k}=\Delta (\Delta y_{k})=\Delta y_{k+1}-\Delta y_{k}=f(x_{k+2})-2f(x_{k+1})+f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-2.$ 

Соответственно, восходящей конечной разностью порядка $m$$m$  (для $m\le <!--\; \le \; -->n$$m\leq n$ ) называют разность между $(k+1)$$(k+1)$ -ой и $k$$k$ -ой конечными разностями порядка $m-<!--\; -\; -->1$$m-1$ , то есть

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^m{y}_k=\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}({\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{m-<!--\; -\; -->1}{y}_k)={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{m-<!--\; -\; -->1}{y}_{k+1}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{m-<!--\; -\; -->1}{y}_k,k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->m.$$\Delta ^{m}y_{k}=\Delta (\Delta ^{m-1}y_{k})=\Delta ^{m-1}y_{k+1}-\Delta ^{m-1}y_{k},\ k=0,\ldots ,n-m.$ 

Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядков:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^m{y}_k=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^{m-<!--\; -\; -->1}{y}_k),$$\nabla ^{m}y_{k}=\nabla (\nabla ^{m-1}y_{k}),$ 

${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^m{y}_k=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}({\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{m-<!--\; -\; -->1}{y}_k).$$\delta ^{m}y_{k}=\delta (\delta ^{m-1}y_{k}).$ 

Через операторыПравить

Если ввести оператор смещения $\mathrm{E}$$\operatorname {E}$  такой, что $\mathrm{E}<!--\; \; -->y_k=y_{k+1}$$\operatorname {E}y_{k}=y_{{k+1}}$ , то можно определить оператор восходящей конечной разности $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  как $\mathrm{E}-<!--\; -\; -->1$$\operatorname {E} -1$ . Для него справедливо соотношение

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^k=(\mathrm{E}-<!--\; -\; -->1{)}^k$$\Delta ^{k}=(\operatorname {E}-1)^{k}$ ,

которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков.

Общие формулыПравить

Часто также используется другое обозначение: ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h^m(f,x)$$\Delta _{h}^{m}(f,x)$  — восходящая конечная разность порядка $m$$m$  от функции $f$$f$  c шагом $h$$h$ , взятая в точке $x$$x$ . Например, ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h^1(f,x)=f(x+h)-<!--\; -\; -->f(x)$$\Delta _{h}^{1}(f,x)=f(x+h)-f(x)$ . Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_h^m(f,x)$$\nabla _{h}^{m}(f,x)$ , а для центральных — ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_h^m(f,x)$$\delta _{h}^{m}(f,x)$ .

В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентов:

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h^m(f,x)=\underset{i=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^{m-<!--\; -\; -->i}{C}_m^{i}f(x+ih),$$\Delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{m-i}C_{m}^{i}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},$ 

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_h^m(f,x)=\underset{i=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^i{C}_m^{i}f(x-<!--\; -\; -->ih),$$\nabla _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f(x-ih),$ 

${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_h^m(f,x)=\underset{i=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^i{C}_m^{i}f\left(x+\left(\frac{m}{2}-<!--\; -\; -->i\right)h\right).$$\delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f\left(x+\left({\frac {m}{2}}-i\right)h\right).$ 

Общая формула для ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h^m(f,x)$$\Delta _{h}^{m}(f,x)$  используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона.

ПримерПравить

 

Пример вычисления конечных разностей

На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для

${\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{0}&=&0,\\n&=&3,\\h&=&1.\end{array}}$ 

В зелёных клетках расположены значения $y_0,\dots <!--\; \dots \; -->,y_n$$y_{0},\ldots ,y_{n}$ , в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка.

Связь с производнымиПравить

Производная функции $f$$f$  в точке $x$$x$  определяется с помощью предела:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f(x+h)-<!--\; -\; -->f(x)}{h}.$$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$ 

Под знаком предела стоит восходящая конечная разность ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h^1(f,x)$$\Delta _{h}^{1}(f,x)$ , делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы Тейлора:

$\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h^1(f,x)}{h}-<!--\; -\; -->f^{\prime }(x)=O(h)\to <!--\; \to \; -->0,h\to <!--\; \to \; -->0.$${\frac {\Delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.$ 

Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности:

$\frac{{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_h^1(f,x)}{h}-<!--\; -\; -->f^{\prime }(x)=O(h)\to <!--\; \to \; -->0,h\to <!--\; \to \; -->0.$${\frac {\nabla _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0,\;h\to 0.$ 

Центральная разность даёт более точное приближение:

$\frac{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_h^1(f,x)}{h}-<!--\; -\; -->f^{\prime }(x)=O\left(h^2\right),h\to <!--\; \to \; -->0.$${\frac {\delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right),\;h\to 0.$ 

Конечные разности порядка $m$$m$ , делённые на шаг, возведённый в степень $m$$m$ , аппроксимируют производную порядка $m$$m$ . Порядок погрешности приближения при этом не меняется:

$\frac{d^{m}f}{d{x}^m}(x)=\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_h^m(f,x)}{h^m}+O(h)=\frac{{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_h^m(f,x)}{h^m}+O(h)=\frac{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_h^m(f,x)}{h^m}+O\left(h^2\right).$${\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O\left(h^{2}\right).$ 

Связанные понятияПравить

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

ЛитератураПравить

• Бахвалов, Н. С., Жидков, Н. П., Кобельков, Г. М. Численные методы . — 7-е изд.. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 636 с. — ISBN 978-5-9963-0449-3.
• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.

См. такжеПравить

• Коэффициенты формул численного дифференцирования
• Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения
• Метод конечных разностей
• Интерполяционные формулы Ньютона
• Разделенная разность
• Биномиальные преобразования