Лаговый оператор

Ла́говый оператор — оператор сдвига, позволяющий получить значения элементов временного ряда на основании ряда предыдущих значений.

Для временного ряда $X=\{X_1,X_2,\dots <!--\; \dots \; -->\}$$X=\{X_{1},X_{2},\dots \}\,$ лаговый оператор представим в виде:

$L^k{X}_t=X_{t-<!--\; -\; -->k}$$L^{k}X_{t}=X_{t-k}$,

при этом:

• $L^0=1$$L^{0}=1$,
• $L\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$L\mu =\mu$ ($\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\text{const}$$\mu ={\text{const}}$),
• $L^{-<!--\; -\; -->1}{X}_t=X_{t+1}$$L^{-1}X_{t}=X_{t+1}$.

При этом оператор $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=1-<!--\; -\; -->L$$\Delta =1-L$ создаёт конечную разность 1-го порядка: $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{X}_t=X_t-<!--\; -\; -->X_{t-<!--\; -\; -->1}$$\Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-1}$.

С лаговым оператором неразрывно связано понятие лагового многочлена:

$\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(L)=\underset{i=0}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i{L}_i$$\Theta (L)=\sum _{i=0}^{N}\theta _{i}L_{i}$.

Лаговые многочлены находят своё применение при записи моделей временных рядов. Например, для многочленов $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(L)=\underset{i=0}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i{L}_i$$\alpha (L)=\sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}L_{i}$ и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(L)=\underset{j=0}{\overset{M}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_j{L}_j$$\beta (L)=\sum _{j=0}^{M}\beta _{j}L_{j}$ написания моделей сводятся к следующим:

Модель	Запись
AR(i)	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(L)y_t={\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_t$$\alpha (L)y_{t}=\epsilon _{t}$
MA(j)	$y_t=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(L){\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_t$$y_{t}=\beta (L)\epsilon _{t}$
ARMA(i, j)	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(L)y_t=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(L){\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_t$$\alpha (L)y_{t}=\beta (L)\epsilon _{t}$

где ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_t$$\epsilon _{t}$ — белый шум.

В этом случае теорема Волда может быть представлена в виде:

$y_t=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(L){\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_t$$y_{t}=\gamma (L)\epsilon _{t}$,

где:

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(L)=\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(L)}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(L)}=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_k{L}_k$$\gamma (L)={\frac {\beta (L)}{\alpha (L)}}\ =\sum _{k=0}^{\infty }\gamma _{k}L_{k}$ ($\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(0)=1$$\gamma (0)=1$).