Операционное исчисление

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью простых средств решать сложные математические задачи.

ИсторияПравить

В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования $p=\frac{d}{dt}$$p={d \over dt}$  (теория операторов). В 1862 году в Киеве вышла обстоятельная монография профессора-математика Михаила Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений».^{[значимость факта?]} В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского учёного Оливера Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая $\frac{1}{p}f(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}f(u)du$${\frac {1}{p}}f(t)=\int \limits _{{0}}^{{t}}\!f(u)\,du$  и считая $f(u)=0$$f(u)=0$  для $u<0$ . Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.

Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}(p)=L\left[f(t)\right]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->pt}f(t)dt$${\bar {f}}(p)=L\left[f(t)\right]=\int \limits _{{0}}^{\infty }\!e^{{-pt}}f(t)\,dt$  и оператором дифференцирования $\frac{d}{dt}.$${d \over dt}.$  Именно, если существует производная $f^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}(t)$$f^{\prime }(t)$ , для которой $L\left[\frac{df}{dt}\right]$$L\left[{df \over dt}\right]$  существует и $f(0)=0$$f(0)=0$ , то $L\left[\frac{df}{dt}\right]=p\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}(p)$$L\left[{df \over dt}\right]=p{\bar {f}}(p)$ .

В 1950-е годы теоретическое обоснование операционного исчисления продолжил Ян Микусинский, его идеи отличаются оригинальным взглядом и новаторским подходом, его вариант операционного исчисления получил название «операционное исчисление по Микусинскому». Этот метод может быть применён для решения дифференциальных уравнений и основан на использовании операции свёртки с применением преобразования Фурье.

Свойства изображенийПравить

• Линейность

Оригинал линейной комбинации функций равен линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.

$a\cdot <!--\; \cdot \; -->f(t)+b\cdot <!--\; \cdot \; -->g(t)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->a\cdot <!--\; \cdot \; -->F(p)+b\cdot <!--\; \cdot \; -->G(p),$$a\cdot f(t)+b\cdot g(t)\quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),$ 

где a и b — произвольные комплексные числа.

• Теорема подобия

$f(at)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\frac{1}{a}F\left(\frac{p}{a}\right),$$f(at)\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{a}}F\left({\frac {p}{a}}\right),$ 

где a>0.

• Дифференцирование оригинала

$f(t)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F(p);$$f(t)\quad \Rightarrow \quad F(p);$ 

$f^{\prime }(t)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->pF(p)-<!--\; -\; -->f(0);$$f'(t)\quad \Rightarrow \quad pF(p)-f(0);$ 

$f^{″}(t)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->p^{2}F(p)-<!--\; -\; -->pf(0)-<!--\; -\; -->f^{\prime }(0);$$f''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{2}F(p)-pf(0)-f'(0);$ 

$f^{‴}(t)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->p^{3}F(p)-<!--\; -\; -->p^{2}f(0)-<!--\; -\; -->p{f}^{\prime }(0)-<!--\; -\; -->f^{″}(0);$$f'''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{3}F(p)-p^{2}f(0)-pf'(0)-f''(0);$ 

$...$$...$ 

$f^{(n)}(t)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->p^{n}F(p)-<!--\; -\; -->p^{n-<!--\; -\; -->1}f(0)-<!--\; -\; -->p^{n-<!--\; -\; -->2}{f}^{\prime }(0)-<!--\; -\; -->p^{n-<!--\; -\; -->3}{f}^{″}(0)-<!--\; -\; -->...-<!--\; -\; -->f^{(n-<!--\; -\; -->1)}(0).$$f^{{(n)}}(t)\quad \Rightarrow \quad p^{n}F(p)-p^{{n-1}}f(0)-p^{{n-2}}f'(0)-p^{{n-3}}f''(0)-...-f^{{(n-1)}}(0).$ 

• Дифференцирование изображения

$-<!--\; -\; -->tf(t)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F^{\prime }(p).$$-tf(t)\quad \Rightarrow \quad F'(p).$ 

• Интегрирование оригинала

$\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}f(t)dt\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\frac{1}{p}F(p).$$\int \limits _{0}^{t}f(t)dt\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{p}}F(p).$ 

• Интегрирование изображения

$\frac{f(t)}{t}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{p}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}F(p)dp.$${\frac {f(t)}{t}}\quad \Rightarrow \quad \int \limits _{p}^{\infty }F(p)dp.$ 

• Теорема смещения

$e^{at}f(t)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F(p-<!--\; -\; -->a).$$e^{{at}}f(t)\quad \Rightarrow \quad F(p-a).$ 

• Теорема запаздывания

$f(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->e^{-<!--\; -\; -->p\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}F(p).$$f(t-\tau )\quad \Rightarrow \quad e^{{-p\tau }}F(p).$ 

• Теорема умножения (свёртки)

$\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}f(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})g(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F(p)\cdot <!--\; \cdot \; -->G(p).$$\int \limits _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \quad \Rightarrow \quad F(p)\cdot G(p).$ 

Изображения различных функцийПравить

Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение		Оригинал	Изображение
$C$$C$	$\frac{C}{p}$${\frac {C}{p}}$		$t\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$t\cdot \sin ~\omega t$	$\frac{2p\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{(p^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{)}^2}$${\frac {2p\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$		$t\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{sh}<!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$t\cdot \operatorname {sh} ~\omega t$	$\frac{2p\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{(p^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{)}^2}$${\frac {2p\omega }{(p^{2}-\omega ^{2})^{2}}}$
$e^{at}$$e^{at}$	$\frac{1}{p-<!--\; -\; -->a}$${\frac {1}{p-a}}$		$t\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$t\cdot \cos ~\omega t$	$\frac{p^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{(p^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{)}^2}$${\frac {p^{2}-\omega ^{2}}{(p^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$		$t\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{ch}<!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$t\cdot \operatorname {ch} ~\omega t$	$\frac{p^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{(p^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{)}^2}$${\frac {p^{2}+\omega ^{2}}{(p^{2}-\omega ^{2})^{2}}}$
$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$\sin ~\omega t$	$\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{p^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$${\frac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}$		$\mathrm{sh}<!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$\operatorname {sh} ~\omega t$	$\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{p^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$${\frac {\omega }{p^{2}-\omega ^{2}}}$		$t^n$$t^{n}$	$\frac{n!}{p^{n+1}}$${\frac {n!}{p^{n+1}}}$
$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$\cos ~\omega t$	$\frac{p}{p^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$${\frac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$		$\mathrm{ch}<!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$\operatorname {ch} ~\omega t$	$\frac{p}{p^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$${\frac {p}{p^{2}-\omega ^{2}}}$		$t^a$$t^{a}$	$\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(a+1)}{p^{a+1}}$${\frac {\Gamma (a+1)}{p^{a+1}}}$
$e^{at}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$e^{at}\sin ~\omega t$	$\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{(p-<!--\; -\; -->a{)}^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$${\frac {\omega }{(p-a)^{2}+\omega ^{2}}}$		$e^{at}\mathrm{sh}<!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$e^{at}\operatorname {sh} ~\omega t$	$\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{(p-<!--\; -\; -->a{)}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$${\frac {\omega }{(p-a)^{2}-\omega ^{2}}}$		$e^{at}{t}^n$$e^{at}t^{n}$	$\frac{n!}{(p-<!--\; -\; -->a{)}^{n+1}}$${\frac {n!}{(p-a)^{n+1}}}$
$e^{at}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$e^{at}\cos ~\omega t$	$\frac{p-<!--\; -\; -->a}{(p-<!--\; -\; -->a{)}^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$${\frac {p-a}{(p-a)^{2}+\omega ^{2}}}$		$e^{at}\mathrm{ch}<!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$$e^{at}\operatorname {ch} ~\omega t$	$\frac{p-<!--\; -\; -->a}{(p-<!--\; -\; -->a{)}^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$${\frac {p-a}{(p-a)^{2}-\omega ^{2}}}$

Применение операторных методов в электротехникеПравить

 

Переходный процесс в коммутируемой RL-цепочке

ЗадачаПравить

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение традиционным методомПравить

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

$U=iR+L\frac{di}{dt},$$U=iR+L{\frac {di}{dt}},$ 

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй — на индуктивности L.

Делаем замену переменной $i=ab$$i=ab$  и приводим уравнение к виду:

$U=Rab+L(a^{\prime }b+a{b}^{\prime });U=a(Rb+L{b}^{\prime })+L{a}^{\prime }b.$$U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.$ 

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

$Rb+L{b}^{\prime }=0.$$Rb+Lb'=0.$ 

Разделяем переменные:

$\frac{b^{\prime }}{b}=-<!--\; -\; -->\frac{R}{L};\ln <!--\; \; -->b=-<!--\; -\; -->\frac{R}{L}t;b=e^{-<!--\; -\; -->\frac{R}{L}t}.$${\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L}};\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b=e^{-{\frac {R}{L}}t}.$ 

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

$U=L{a}^{\prime }{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{R}{L}t};a^{\prime }=\frac{U{e}^{\frac{R}{L}t}}{L};$$U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{L}};$ 

Интегрируя, получаем

$a=\frac{L}{R}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{U{e}^{\frac{R}{L}t}}{L}+C=\frac{U{e}^{\frac{R}{L}t}}{R}+C;$$a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad$ 

Получаем выражение для тока

$i=ab=\left(\frac{U{e}^{\frac{R}{L}t}}{R}+C\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->e^{-<!--\; -\; -->\frac{R}{L}t}=\frac{U}{R}+C{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{R}{L}t};$$i=ab=\left({\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R}{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};$ 

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

$i(0)=0;\frac{U}{R}+C=0;C=-<!--\; -\; -->\frac{U}{R}.$$i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.$ 

Окончательно получаем

$i=\frac{U}{R}\left(1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\frac{R}{L}t}\right).$$i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).$ 

Решение операторным методомПравить

Найдём изображения каждого из слагаемых дифференциального уравнения:

$i\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->I;U\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\frac{U}{p};iR\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->IR;L\frac{di}{dt}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->L\left[pI-<!--\; -\; -->i(0)\right]=pLI.$$i\Rightarrow I;\qquad U\Rightarrow {\frac {U}{p}};\qquad iR\Rightarrow IR;\qquad L{\frac {di}{dt}}\Rightarrow L\left[pI-i(0)\right]=pLI.$ 

$U\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\frac{U}{p}$$U\Rightarrow {\frac {U}{p}}$  получается потому, что изменение U во времени выражается функцией U = H(t)U (ключ замкнули в момент t = 0), где H(t) — ступенчатая функция Хевисайда (единичная функция), (H(t) = 0 при t < 0 и H(t) = 1 при t = 0 и t > 0, причём изображение H(t) есть 1/p).

Получаем следующее изображение дифференциального уравнения

$\frac{U}{p}=RI+pLI=I(R+pL).$${\frac {U}{p}}=RI+pLI=I(R+pL).$ 

Из последнего выражения найдём изображение тока:

$I=\frac{U}{p(R+pL)}.$$I={\frac {U}{p(R+pL)}}.$ 

Таким образом, решение сводится к нахождению оригинала тока по известному изображению. Разложим правую часть уравнения на элементарные дроби:

$\frac{U}{p(R+pL)}=\frac{A}{p}+\frac{B}{R+pL}=\frac{A(R+pL)+Bp}{p(R+pL)}=\frac{AR+p(AL+B)}{p(R+pL)};$${\frac {U}{p(R+pL)}}={\frac {A}{p}}+{\frac {B}{R+pL}}={\frac {A(R+pL)+Bp}{p(R+pL)}}={\frac {AR+p(AL+B)}{p(R+pL)}};$ 

$AR=U;A=\frac{U}{R};$$AR=U;\qquad A={\frac {U}{R}};$ 

$AL+B=0;B=-<!--\; -\; -->AL=-<!--\; -\; -->\frac{UL}{R};$$AL+B=0;\qquad B=-AL=-{\frac {UL}{R}};$ 

$I=\frac{U}{Rp}-<!--\; -\; -->\frac{UL}{R(R+pL)}=\frac{U}{Rp}-<!--\; -\; -->\frac{U}{R(\frac{R}{L}+p)}=\frac{U}{R}\left(\frac{1}{p}-<!--\; -\; -->\frac{1}{\frac{R}{L}+p}\right).$$I={\frac {U}{Rp}}-{\frac {UL}{R(R+pL)}}={\frac {U}{Rp}}-{\frac {U}{R({\frac {R}{L}}+p)}}={\frac {U}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+p}}\right).$ 

Найдём оригиналы элементов последнего выражения:

$\frac{1}{p}\Leftarrow <!--\; \Leftarrow \; -->1;\frac{1}{\frac{R}{L}+p}\Leftarrow <!--\; \Leftarrow \; -->e^{-<!--\; -\; -->\frac{R}{L}t}.$${\frac {1}{p}}\Leftarrow 1;\qquad {\frac {1}{{\frac {R}{L}}+p}}\Leftarrow e^{-{\frac {R}{L}}t}.$ 

Окончательно получаем

$i=\frac{U}{R}\left(1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\frac{R}{L}t}\right).$$i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).$ 

ВыводПравить

Операционное исчисление чрезвычайно удобно в электротехнике для расчёта динамических режимов различных цепей. Алгоритм расчёта следующий.

1) Все элементы цепи рассматриваем как сопротивления Z_i, величины которых находим исходя из изображений переходных функций соответствующих элементов.

Например, для резистора:

$u=iR;\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->U=IR\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->Z_R=R.$$u=iR;\quad \Rightarrow \quad U=IR\quad \Rightarrow \quad Z_{R}=R.$ 

Для индуктивности:

$u=L\frac{di}{dt}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->U=IpL\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->Z_L=pL.$$u=L{\frac {di}{dt}}\quad \Rightarrow \quad U=IpL\quad \Rightarrow \quad Z_{L}=pL.$ 

Для ёмкости:

$u=\frac{1}{C}\int <!--\; \int \; -->idt\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->U=\frac{I}{pC}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->Z_C=\frac{1}{pC}.$$u={\frac {1}{C}}\int idt\quad \Rightarrow \quad U={\frac {I}{pC}}\quad \Rightarrow \quad Z_{C}={\frac {1}{pC}}.$ 

2) Используя указанные значения сопротивлений, находим изображения токов в цепи, используя стандартные методы расчёта цепей, применяемые в электротехнике.

3) Имея изображения токов в цепи, находим оригиналы, которые и являются решением дифференциальных уравнений, описывающих цепь.

Применение операционного исчисленияПравить

Операторные методы применяются в теории электрических цепей, теории автоматического управления, теории сигналов, теоретической механике. Переход к изображениям позволяет перейти от решения дифференциальных уравнений к алгебраическим. Операционное исчисление позволяет работать с разрывными функциями, например функция-«ножницы», импульс, дельта-функция и другие. Эта особенность отличает операционное исчисление от математического анализа с его непрерывностью и дифференцированностью в каждой точке.

ЗамечанияПравить

Полученные выше выражения для операторного сопротивления различных элементов с точностью до преобразования

$p\to <!--\; \to \; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$p\rightarrow j\omega$ 

совпадают с соответствующими выражениями для сопротивлений в цепях переменного тока:

$Z_R=R;Z_L=j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}L;Z_C=\frac{1}{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}C}.$$Z_{R}=R;\qquad Z_{L}=j\omega L;\qquad Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}.$ 

ЛитератураПравить

• Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — 1989. — С. 479. — ISBN 5-02-013954-8.
• Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. — 1990. — С. 172.
• Деч Г. Преобразование Лапласа. — 1971. — С. 288.

• Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. — 1975. — С. 408.
• Конторович М. И. Операционное исчисление. — 1955. — С. 229.
• Мартыненко В. С. Операционное исчисление. — 1990. — С. 359.
• Микусинский Ян. Операторное исчисление. — 1956. — С. 363.
• Шостак Р. Я. Операционное исчисление. — 1972. — С. 274.

• Штокало И. З. Операционное исчисление. — 1972. — С. 304.

• Эйдерман В. Я. Операционное исчисление. — «Физматлит», 2002. — С. 256. — ISBN 5-9221-0283-4.

• Пантелеев А. В., Якимова А. С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах : учебное пособие. — «Выс. шк.», 2001. — С. 445. — ISBN 5-06-004135-2.