Неравенство

О неравенствах в социально-экономическом смысле см. Социальное неравенство.

Символы со сходным начертанием: 〈 · ‹ · ˂ · く · 〱 · ◌𖿱

Символы со сходным начертанием: 〉 · › · ˃ · ‏ح‍‏‎

Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Область допустимых решений («feasible region») в задачах линейного программирования

Строгие неравенства

• $a<b$ — означает, что $a$$a$ меньше, чем $b.$$b.$
• $a>b$$a>b$ — означает, что $a$$a$ больше, чем $b.$$b.$

Неравенства $a>b$$a>b$ и $b < a$ равносильны. Говорят, что знаки $>$$>$ и $<$ противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что $<$ заменено на $>$$>$ или наоборот.

Нестрогие неравенства

• $a⩽<!--\; ⩽\; -->b$$a\leqslant b$ — означает, что $a$$a$ меньше или равно $b.$$b.$
• $a⩾<!--\; ⩾\; -->b$$a\geqslant b$ — означает, что $a$$a$ больше или равно $b.$$b.$

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки ⩽ и ⩾ также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

• $a\ne <!--\; \ne \; -->b$$a\neq b$ — означает, что $a$$a$ не равно $b$$b$.
• $a\gg <!--\; \gg \; -->b$$a\gg b$ — означает, что величина $a$$a$ намного больше, чем $b.$$b.$
• $a\ll <!--\; \ll \; -->b$$a\ll b$ — означает, что величина $a$$a$ намного меньше, чем $b.$$b.$

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определенияПравить

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

$a<b<c$  — это краткая запись пары неравенств: $a<b$  и $b<c.$ 

Числовые неравенстваПравить

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных $(x,y,\dots <!--\; \dots \; -->).$$(x,y,\dots ).$  Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство $18x<414$  — алгебраическое первой степени, неравенство $2x^3-<!--\; -\; -->7x+6>0$$2x^{3}-7x+6>0$  — алгебраическое третьей степени, неравенство $2^x>x+4$$2^{x}>x+4$  — трансцендентное.

СвойстваПравить

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений:

• К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
• От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из $a+b<c$  следует, что $a<c-b.$ 
• Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
• Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, $a<b$  и $c<d,$  то $a+c<b+d.$  Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
• Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
• Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства

• Транзитивность: если $a<b$  и $b<c,$  то $a<c$  и аналогично для прочих знаков.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенствПравить

Пусть даны функции $f\left(x\right)$$f\left(x\right)$  и $g\left(x\right)$$g\left(x\right)$ . Если требуется найти все числа $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство $f\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)>g\left(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)$$f\left(\alpha \right)>g\left(\alpha \right)$ , то говорят, что требуется решить неравенство

$f\left(x\right)>g\left(x\right).$$f\left(x\right)>g\left(x\right).$ 

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

$x^{2}<4$  выполняется при $-2<x<2.$ 

$x^2>4$$x^{2}>4$  выполняется, если $x>2$$x>2$  или $x<-2.$ 

$x^{2}<-4$  не выполняется никогда (решений нет).

$x^2>-<!--\; -\; -->4$$x^{2}>-4$  выполняется при всех $x$$x$  (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство $x>3$$x>3$  возвести в квадрат: $x^2>9,$$x^{2}>9,$  то появится ошибочное решение $x<-3,$  не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степениПравить

Неравенство первой степени имеет общий формат: $ax>b$$ax>b$  или $ax<b,$  где $a\ne <!--\; \ne \; -->0$$a\neq 0$  (работа со знаками $⩾<!--\; ⩾\; -->$$\geqslant$  и $⩽<!--\; ⩽\; -->$$\leqslant$  аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на $a$$a$  и, если $a<0,$  измените знак неравенства на противоположный. Пример:

$5x-<!--\; -\; -->11>8x+1.$$5x-11>8x+1.$  Приведём подобные члены: $-<!--\; -\; -->3x>12,$$-3x>12,$  или $x<-4.$ 

Системы неравенств первой степениПравить

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы ${\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}$  получаем два решения: для первого неравенства $x<2,$  для второго: $x>\frac{2}{3}.$$x>{2 \over 3}.$  Соединяя их, получаем ответ: ${2 \over 3}<x<2.$ 

Пример 2. $\{\begin{array}{l}2x-<!--\; -\; -->3>3x-<!--\; -\; -->5\\ 2x+4>8x\end{array}$${\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}$  Решения: $x<2$  и $x<{2 \over 3}.$  Второе решение поглощает первое, так что ответ: $x<{2 \over 3}.$ 

Пример 3. ${\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}$  Решения: $x>2$$x>2$  и $x<{2 \over 3},$  они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степениПравить

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

$x^2+px+q>0$$x^{2}+px+q>0$  или $x^{2}+px+q<0.$ 

Если квадратное уравнение $x^2+px+q=0$$x^{2}+px+q=0$  имеет вещественные корни $x_1,x_2,$$x_{1},x_{2},$  то неравенство можно привести к виду соответственно:

$(x-<!--\; -\; -->x_1)(x-<!--\; -\; -->x_2)>0$$(x-x_{1})(x-x_{2})>0$  или $(x-x_{1})(x-x_{2})<0.$ 

В первом случае $x-<!--\; -\; -->x_1$$x-x_{1}$  и $x-<!--\; -\; -->x_2$$x-x_{2}$  должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило.

Квадратный трёхчлен $x^2+px+q$$x^{2}+px+q$  с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения $x^2+px+q=0$$x^{2}+px+q=0$  вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех $x.$$x.$  Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры).

Пример 1. $-<!--\; -\; -->2x^2+14x-<!--\; -\; -->20>0.$$-2x^{2}+14x-20>0.$  Разделив на $-<!--\; -\; -->2,$$-2,$  приведём неравенство к виду: $x^{2}-7x+10<0.$  Решив квадратное уравнение $x^2-<!--\; -\; -->7x+10=0,$$x^{2}-7x+10=0,$  получаем корни $x_1=2;x_2=5,$$x_{1}=2;x_{2}=5,$  поэтому исходное неравенство равносильно такому: $(x-2)(x-5)<0.$  Согласно приведенному выше правилу, $2<x<5,$  что и является ответом.

Пример 2. $-2x^{2}+14x-20<0.$  Аналогично получаем, что $x-<!--\; -\; -->2$$x-2$  и $x-<!--\; -\; -->5$$x-5$  имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, $x<2,$  или $x>5.$$x>5.$ 

Пример 3. $x^2+6x+15>0.$$x^{2}+6x+15>0.$  Уравнение $x^2+6x+15=0$$x^{2}+6x+15=0$  не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех $x.$$x.$  При $x=0$$x=0$  левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех $x$$x$ ).

Пример 4. $x^{2}+6x+15<0.$  Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах.

Прочие неравенстваПравить

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенстваПравить

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы.

• $a+\frac{1}{a}⩾<!--\; ⩾\; -->2,$$a+{1 \over a}\geqslant 2,$  где $a>0.$$a>0.$  Равенство имеет место только при $a=1.$$a=1.$ 
• $\sqrt{ab}⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{a+b}{2},$${\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},$  где $a,b>0.$$a,b>0.$  Смысл: среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднее арифметическое. Равенство имеет место только при $a=b.$$a=b.$ 
• Неравенство о средних
• Неравенство Бернулли:

$(1+x{)}^n⩾<!--\; ⩾\; -->1+nx,$$(1+x)^{n}\geqslant 1+nx,$  где $x⩾<!--\; ⩾\; -->-<!--\; -\; -->1,n$$x\geqslant -1,n$  — положительное число, большее 1.

• Неравенство Коши — Буняковского.
• Неравенство Йенсена
• Неравенство треугольника:

$|a+b|⩽<!--\; ⩽\; -->|a|+|b|$$|a+b|\leqslant |a|+|b|$ 

См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программированияПравить

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

символ	языки
!=	C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language
<>	Basic, Pascal, 1С
~=	Lua
/=	Haskell, Fortran, Ada
#	Modula-2, Oberon

Коды знаков неравенствПравить

символ	изобра­жение	Юникод	русское название	HTML	LaTeX
код	название	шестнадца­теричное	десятичное	мнемоника
<	$<$	U+003C	Less-than sign	Меньше	&#x3C;	&#60;	&lt;	<, \textless
>	$>$$>$	U+003E	Greater-than sign	Больше	&#x3E;	&#62;	&gt;	>, \textgreater
⩽	$⩽<!--\; ⩽\; -->$$\leqslant$	U+2A7D	Less-than or slanted equal to	Меньше или равно	&#x2A7D;	&#10877;	нет	\leqslant
⩾	$⩾<!--\; ⩾\; -->$$\geqslant$	U+2A7E	Greater-than or slanted equal to	Больше или равно	&#x2A7E;	&#10878;	нет	\geqslant
≤	$\le <!--\; \le \; -->$$\leq$	U+2264	Less-than or equal to	Меньше или равно	&#x2264;	&#8804;	&le;	\le, \leq
≥	$\ge <!--\; \ge \; -->$$\geq$	U+2265	Greater-than or equal to	Больше или равно	&#x2265;	&#8805;	&ge;	\ge, \geq
≪	$\ll <!--\; \ll \; -->$$\ll$	U+226A	Much less-than	Много меньше	&#x226A;	&#8810;	нет	\ll
≫	$\gg <!--\; \gg \; -->$$\gg$	U+226B	Much greater-than	Много больше	&#x226B;	&#8811;	нет	\gg

См. такжеПравить

• Сравнение (программирование)

ЛитератураПравить

• Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.