Неравенство Бернулли

Нера́венство Берну́лли утверждает: если $x>-<!--\; -\; -->1$$x>-1$, то

$(1+x{)}^n⩾<!--\; ⩾\; -->1+nx$$(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$ для всех натуральных $n⩾<!--\; ⩾\; -->1.$$n\geqslant 1.$

ДоказательствоПравить

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

$(1+x{)}^{n+1}=(1+x)(1+x{)}^n⩾<!--\; ⩾\; -->(1+x)(1+nx)⩾<!--\; ⩾\; -->(1+nx)+x=1+(n+1)x$$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x=1+(n+1)x$ ,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство БернуллиПравить

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает, что при $x>-<!--\; -\; -->1$$x > - 1 \!\$  и $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$n\in\mathbb{R}$ :

• если $n\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};0)\cup <!--\; \cup \; -->(1;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$ , то $(1+x{)}^n⩾<!--\; ⩾\; -->1+nx$$(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$ 
• если $n\in <!--\; \in \; -->(0;1)$$n\in(0;1) \!\$ , то $(1+x{)}^n⩽<!--\; ⩽\; -->1+nx$$(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$ 
• при этом равенство достигается в двух случаях: $[\begin{array}{c}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1,n=0,n=1\\ \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\ne <!--\; \ne \; -->0,x=0\end{array}$$\left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrix}\right.$ 

Доказательство

Рассмотрим $f(x)=(1+x{)}^n-<!--\; -\; -->nx$$f(x)=(1+x)^n-nx \!\$ , причем $x>-<!--\; -\; -->1,n\ne <!--\; \ne \; -->0,n\ne <!--\; \ne \; -->1$$x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\$ .
Производная $f^{\prime }(x)=n(1+x{)}^{n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->n=0$$f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\$  при $x=x_0=0$$x=x_0=0 \!\$ , поскольку $n\ne <!--\; \ne \; -->0$$n \neq 0 \!\$ .
Функция $f$$f \!\$  дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки $x_0$$x_0 \!\$ . Поэтому $f^{″}(x)=n(n-<!--\; -\; -->1)(1+x{)}^{n-<!--\; -\; -->2}$$f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\$ . Получаем:

• $f^{″}(x)>0$$f''(x)>0 \!\$  ⇒ $f(x)⩾<!--\; ⩾\; -->f(x_0)$$f(x)\geqslant f(x_{0})\!\$  при $n\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};0)\cup <!--\; \cup \; -->(1;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$ 
• $f''(x)<0 \!\$  ⇒ $f(x)⩽<!--\; ⩽\; -->f(x_0)$$f(x)\leqslant f(x_{0})\!\$  при $n\in <!--\; \in \; -->(0;1)$$n\in(0;1) \!\$ 

Значение функции $f(x_0)=1$$f(x_0)=1 \!\$ , следовательно, справедливы следующие утверждения:

• если $n\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};0)\cup <!--\; \cup \; -->[1;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$n\in(-\infty ;0)\cup[1;+\infty )$ , то $(1+x{)}^n⩾<!--\; ⩾\; -->1+nx$$(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$ 
• если $n\in <!--\; \in \; -->(0;1]$$n\in(0;1] \!\$ , то $(1+x{)}^n⩽<!--\; ⩽\; -->1+nx$$(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$ 

Несложно заметить, что при соответствующих значениях $x_0=0$$x_0=0 \!\$  или $n=0,n=1$$n=0, n=1 \!\$  функция $f(x)=f(x_0)$$f(x)=f(x_0) \!\$ . При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на $n$$n \!\$ , заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство. ■

ЗамечанияПравить

• Неравенство также справедливо для $x⩾<!--\; ⩾\; -->-<!--\; -\; -->2$$x\geqslant -2$  (при $n\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}_0$$n\in\mathbb{N}_0$ ), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая $x\in <!--\; \in \; -->\left[-<!--\; -\; -->2,-<!--\; -\; -->1\right)$$x\in\left[-2,-1\right)$  можно провести тем же методом математической индукции:

$(1+x{)}^{n+1}+(1+x{)}^n=(1+x{)}^n(1+x+1)⩾<!--\; ⩾\; -->(1+nx)(1+x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).$$(1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geqslant (1+nx)(1+x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).$ 

Так как при $x\in <!--\; \in \; -->\left[-<!--\; -\; -->2,-<!--\; -\; -->1\right)$$x\in\left[-2,-1\right)$  выполняется $(1+x{)}^n⩽<!--\; ⩽\; -->1⩽<!--\; ⩽\; -->1+nx(1+x)$$(1+x)^{n}\leqslant 1\leqslant 1+nx(1+x)$ , то $(1+x{)}^{n+1}⩾<!--\; ⩾\; -->1+(n+1)x$$(1+x)^{n+1}\geqslant 1+(n+1)x$ .

ЛитератураПравить

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.