Метрическое пространство

Не следует путать с метрическим тензором — квадратичной формой, которая задает скалярное произведение.

Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами. Является центральным понятием геометрии и топологии.

ОпределенияПравить

Пара $(M,d)$$(M,\;d)$ , состоящая из множества $M$$M$  и функции $d:<!--\; :\; -->M\times <!--\; \times \; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$d\colon M\times M\to \mathbb {R}$  из его декартова квадрата в множество неотрицательных вещественных чисел, называется метрическим пространством, если:

1. $d(x,x)=0$$d(x,x)=0$  (аксиома тождества);
2. $d(x,y)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$d(x,y)\geqslant 0$  (аксиома положительности);
3. $d(x,y)=d(y,x)$$d(x,y)=d(y,x)$  (аксиома симметричности);
4. $d(x,z)⩽<!--\; ⩽\; -->d(x,y)+d(y,z)$$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$  (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

В этом случае:

• множество $M$$M$  называется подлежащим множеством или носителем метрического пространства;
• функция $d$$d$  называется метрикой или функцией расстояния;
• элементы множества $M$$M$  называются точками метрического пространства.

ЗамечанияПравить

• Требование неотрицательности значений метрики является избыточным, оно следует из аксиом:

  $0=d(x,x)⩽<!--\; ⩽\; -->d(x,y)+d(y,x)=2\cdot <!--\; \cdot \; -->d(x,y)$$0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$ .

• Если неравенство треугольника представить в виде

  $d(x,y)⩽<!--\; ⩽\; -->d(x,z)+d(y,z)$$d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)$ 

тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

• Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния и поэтому называются аксиомами расстояния. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от $x$$x$  до $y$$y$  то же самое, что и расстояние от $y$$y$  до $x$$x$ . Неравенство треугольника означает, что расстояние от $x$$x$  до $z$$z$  через $y$$y$  не меньше, чем прямо от $x$$x$  до $z$$z$ .

ОбозначенияПравить

Обычно расстояние между точками $x$$x$  и $y$$y$  в метрическом пространстве $M$$M$  обозначается $d(x,y)$$d(x,y)$  или $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x,y)$$\rho (x,y)$ .

• В метрической геометрии принято обозначение $|xy|$$|xy|$  или $|xy{|}_M$$|xy|_{M}$ , если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о $M$$M$ . Также употребляются обозначения $|x-<!--\; -\; -->y|$$|x-y|$  и $|x-<!--\; -\; -->y{|}_M$$|x-y|_{M}$  (несмотря на то, что выражение $x-<!--\; -\; -->y$$x-y$  для точек $x$$x$  и $y$$y$  не имеет смысла).
• В классической геометрии приняты обозначения $XY$$XY$  или $|XY|$$|XY|$  (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определенияПравить

• Биекция между различными метрическими пространствами $(X,d_X)$$(X,d_{X})$  и $(Y,d_Y)$$(Y,d_{Y})$ , сохраняющая расстояния, называется изометрией;
  • В этом случае пространства $(X,d_X)$$(X,d_{X})$  и $(Y,d_Y)$$(Y,d_{Y})$  называются изометричными.
• Если $x_n\in <!--\; \in \; -->X$$x_{n}\in X$ , $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  и $d(x_n,x)\to <!--\; \to \; -->0$$d(x_{n},x)\to 0$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ , то говорят, что $x_n$$x_{n}$  сходится к $x$$x$ : $x_n\to <!--\; \to \; -->x$$x_{n}\to x$ .
• Если $M$$M$  подмножество множества $X$$X$ , то, рассматривая сужение $d_M=d_X{|}_M$$d_{M}=d_{X}|_{M}$  метрики $d_X$$d_{X}$  на множество $M$$M$ , можно получить метрическое пространство $(M,d_M)$$(M,d_{M})$ , которое называется подпространством пространства $(X,d)$$(X,d)$ .
• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Метрика $d$$d$  на $M$$M$  называется внутренней, если любые две точки $x$$x$  и $y$$y$  в $M$$M$  можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к $d(x,y)$$d(x,y)$ .
  • Пространство называется геодезическим если любые две точки $x$$x$  и $y$$y$  в $M$$M$  можно соединить кривой с длиной, равной $d(x,y)$$d(x,y)$ .
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

$B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\},$ 

где $x$$x$  есть точка в $M$$M$  и $r$$r$  — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество $O$$O$  является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние $d(x,S)$$d(x,S)$  от точки $x$$x$  до подмножества $S$$S$  в $M$$M$  определяется по формуле:

$d(x,S)=inf\{d(x,s)\mid <!--\; \mid \; -->s\in <!--\; \in \; -->S\}$$d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\}$ .

Тогда $d(x,S)=0$$d(x,S)=0$ , только если $x$$x$  принадлежит замыканию $S$$S$ .

ПримерыПравить

• Дискретная метрика: $d(x,y)=0$$d(x,y)=0$ , если $x=y$$x=y$ , и $d(x,y)=1$$d(x,y)=1$  во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния $d(x,y)=|y-<!--\; -\; -->x|$$d(x,\;y)=|y-x|$  и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
• Расстояние городских кварталов: $d(\mathbf{p},\mathbf{q})=\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathbf{p}-<!--\; -\; -->\mathbf{q}\Vert <!--\; \Vert \; -->=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|p_i-<!--\; -\; -->q_i|$$d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|$ , где $\mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots <!--\; \dots \; -->,p_n)$$\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ , $\mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_n)$$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$  — векторы.
• Пусть $F(X,Y)$$F(X,Y)$  — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства $X$$X$  в метрическое пространство $Y$$Y$ . Расстояние между двумя отображениями $f_1$$f_1$  и $f_2$$f_{2}$  из этого пространства определяется как

  $d_F(f_1,f_2)=sup\{d_Y(f_1(x),f_2(x)):<!--\; :\; -->x\in <!--\; \in \; -->X\}$$d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\colon x\in X\}$ .

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве $X$$X$ .

В частном случае, когда $X$$X$  — компактное пространство, $Y$$Y$  — числовая прямая, получается пространство $C(X)$$C(X)$  всех непрерывных функций на пространстве $X$$X$  с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть $L([a,b])$$L([a,b])$ , $R([a,b])$$R([a,b])$ , $C([a,b])$$C([a,b])$  — пространства функций на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

  $d(f_1,f_2)=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}|f_1(x)-<!--\; -\; -->f_2(x)|dx.$$d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.$ 

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве $k$$k$  раз непрерывно дифференцируемых функций $C^k([a,b])$$C^{k}([a,b])$  метрика вводится по формуле:

  $d_k(f_1,f_2)=max\{d_0(f_1,f_2),d_0(f_1^{\prime },f_2^{\prime }),\dots <!--\; \dots \; -->,d_0(f_1^{(k)},f_2^{(k)})\}$$d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{1},f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}$ ,

где $d_0$$d_{0}$  — метрика равномерной сходимости на $C([a,b])$$C([a,b])$  (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

  $d(x,y)=\Vert <!--\; \Vert \; -->y-<!--\; -\; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->$$d(x,y)=\|y-x\|$ .

  • Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
  • В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.

• Если $(p_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->N}$$(p_{n})_{n\in N}$  является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство $E$$E$ , то

$d(x,y)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2^n}\frac{p_n(x-<!--\; -\; -->y)}{1+p_n(x-<!--\; -\; -->y)}$$d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}$ 

является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить $\frac{1}{2^n}$${\frac {1}{2^{n}}}$  на любую суммируемую последовательность $(a_n)$$(a_{n})$  строго положительных чисел.)

• Любое связное риманово многообразие $M$$M$  можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

• Множество вершин любого связного графа $G$$G$  можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
  • Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.

• Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
• Строковые метрики^[en], такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.

• Множество компактных подмножеств $K(M)$$K(M)$  любого метрического пространства $M$$M$  можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

$D(X,Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{matrix}\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon d(x,y)<r\\\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,y)<r\end{matrix}}\right.\right\}$ .

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.
• Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.

КонструкцииПравить

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
  1. $d_{X\times <!--\; \times \; -->Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2);$$d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2})+d_{Y}(y_{1},y_{2});$ 
  2. $d_{X\times <!--\; \times \; -->Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2{)}^2+d_Y(y_1,y_2{)}^2};$$d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1},x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};$ 
  3. $d_{X\times <!--\; \times \; -->Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=max\{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\}.$$d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1},x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.$ 

Эти метрики эквивалентны друг другу.

СвойстваПравить

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
• метрические пространства с короткие отображениями образуют категорию, обычно обозначаемую Met.

Вариации и обобщенияПравить

• Для данного множества $M$$M$ , функция $d:<!--\; :\; -->M\times <!--\; \times \; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$d\colon M\times M\to \mathbb{R}$  называется псевдометрикой или полуметрикой на $M$$M$  если для любых точек $x,y,z$$x,\;y,\;z$  из $M$$M$  она удовлетворяет следующим условиям:
  1. $d(x,x)=0$$d(x,x)=0$ ;
  2. $d(x,y)=d(y,x)$$d(x,y)=d(y,x)$  (симметрия);
  3. $d(x,z)⩽<!--\; ⩽\; -->d(x,y)+d(y,z)$$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$  (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в $M$$M$  могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве $M/\sim <!--\; \sim \; -->$$M/{\sim }$ , где $x\sim <!--\; \sim \; -->y⟺<!--\; ⟺\; -->d(x,y)=0$$x\sim y\iff d(x,y)=0$ .

• Для данного множества $M$$M$  функция $d:<!--\; :\; -->M\times <!--\; \times \; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$d\colon M\times M\to \mathbb{R}$  называется квазиметрикой, если для любых точек $x$$x$ , $y$$y$ , $z$$z$  из $M$$M$  она удовлетворяет следующим условиям:
  1. $d(x,x)=0$$d(x,x)=0$ ;
  2. $d(x,y)⩽<!--\; ⩽\; -->c\cdot <!--\; \cdot \; -->d(y,x)$$d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)$  (квазисимметрия);
  3. $d(x,z)⩽<!--\; ⩽\; -->c\cdot <!--\; \cdot \; -->(d(x,y)+d(y,z))$$d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))$  (обобщённое неравенство треугольника).
• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

  Для всех $x$$x$ , $y$$y$  и $z$$z$  в $M$$M$  $d(x,z)⩽<!--\; ⩽\; -->max(d(x,y),d(y,z))$$d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$ .

• Иногда удобно рассматривать $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ -метрики, то есть метрики со значениями $[0;\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}]$$[0;\infty ]$ . Для любой $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ -метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например,

  $d^{\prime }(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$$d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}$  или $d^{″}(x,y)=min(1,d(x,y)).$$d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.$ 

Также, для любой точки $x$$x$  такого пространства, множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой $x$$x$ . В частности, любое пространство с $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ .

• Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии. Название этого обобщения не вполне устоялось. В своей книге Смит называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
  1. $d(x,y)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$d(x,y)\geqslant 0$  (положительность)
  2. $d(x,y)=0⟺<!--\; ⟺\; -->x=y$$d(x,y)=0\iff x=y$  (положительная определённость)
  3. d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
  4. $d(x,z)⩽<!--\; ⩽\; -->d(x,y)+d(y,z)$$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$  (неравенство треугольника)

Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество $X$$X$  горных сёл, время прогулки между элементами $X$$X$  образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки $A$$A$  в точку $B$$B$  состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из $B$$B$  в $A$$A$ .

• В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
  1. $d(x,y)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$d(x,y)\geqslant 0$ 
  2. из $d(x,y)=0$$d(x,y)=0$  следует $x=y$$x=y$  (но не наоборот.)
  3. $d(x,y)=d(y,x)$$d(x,y)=d(y,x)$ 
  4. $d(x,z)⩽<!--\; ⩽\; -->d(x,y)+d(y,z)$$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ .

Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству $d(x,x)=0$$d(x,x)=0$  для точек $x$$x$  на границе, но в противном случае $d(x,x)$$d(x,x)$  примерно равно расстоянию от $x$$x$  до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля.

• Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
  1. $d(x,y)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$d(x,y)\geqslant 0$ 
  2. $d(x,x)=0$$d(x,x)=0$ 

Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики или псевдометрики. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика».

Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного $r$$r$  определяется $r$$r$ -шар с центром в точке $p$$p$  как

$B_{r}(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}$ . Множество называется открытым, если для любой точки $p$$p$  в множестве существует $r$$r$ -шар с центром в $p$$p$ , который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством^[en]. В общем случае сами $r$$r$ -шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами $A$$A$  и $B$$B$  определяется как

$d(A,B)=\underset{x\in <!--\; \in \; -->A,y\in <!--\; \in \; -->B}{inf}d(x,y)$$d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)$ .

Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к оператору предзамыкания^[en] $\mathrm{cl}$$\operatorname {cl}$ :

$\mathrm{cl}<!--\; \; -->(A)=\{x\mid <!--\; \mid \; -->d(x,A)=0\}$$\operatorname {cl} (A)=\{x\mid d(x,A)=0\}$ .

• Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые $r$$r$ -шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество $\{0,1\}$$\{0,1\}$  с преметрикой, задаваемой функцией $d$$d$ , такой что $d(0,1)=1$$d(0,1)=1$  и $d(1,0)=0$$d(1,0)=0$ . Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства». С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Пространства подходов^[en] являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.

• Линейное пространство $V(F)$$V(F)$  называется линейным метрическим пространством, если в нём задано расстояние между его элементами и алгебраические операции непрерывны в его метрике, т. е.:
  1. $x_n\to <!--\; \to \; -->x,y_n\to <!--\; \to \; -->y\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x_n+y_n\to <!--\; \to \; -->x+y$$x_{n}\to x,y_{n}\to y\Rightarrow x_{n}+y_{n}\to x+y$ 
  2. $x_n\to <!--\; \to \; -->x,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{x}_n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}x$$x_{n}\to x,\lambda _{n}\to \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x$ 
  • Пример: Линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство при помощи введения расстояния между его элементами с помощью формулы:

    $d(x,y)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2^i}\frac{|x_i-<!--\; -\; -->y_i|}{1+|x_i-<!--\; -\; -->y_i|}$$d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {|x_{i}-y_{i}|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}$ 

• Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

  $\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$ 

для любых точек $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_1,\dots,x_n$  и целых чисел $b_1,\dots <!--\; \dots \; -->,b_n$$b_{1},\dots ,b_{n}$  таких, что $\sum <!--\; \sum \; -->b_i=1$$\sum b_{i}=1$ .

• Заметим, что при $b_1=b_2=1$$b_{1}=b_{2}=1$  и $b_3=-<!--\; -\; -->1$$b_{3}=-1$ , гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

$|x_1-<!--\; -\; -->x_2|-<!--\; -\; -->|x_1-<!--\; -\; -->x_3|-<!--\; -\; -->|x_2-<!--\; -\; -->x_3|\le <!--\; \le \; -->0.$$|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.$ 

• Пример гиперметрического пространства: ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_1$$\ell _{1}$ -пространство.

ИсторияПравить

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства в связи с рассмотрением функциональных пространств.

ЛитератураПравить

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.
• Lawvere, F. William (2002), Metric spaces, generalized logic, and closed categories, Reprints in Theory and Applications of Categories (no. 1): 1–37, <http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/1/tr1.pdf> ; reprinted with added commentary from Lawvere, F. William (1973), Metric spaces, generalized logic, and closed categories, Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano Т. 43: 135–166 (1974), DOI 10.1007/BF02924844 
• Ruben Aldrovandi, J. G. Pereira. An introduction to geometrical physics : [англ.]. — Singapore : World Scientific, 1995. — 699 с. — ISBN 9810222327. — ISBN 9789810222321.
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems, Springer, ISBN 90-277-2186-6 
• Smyth, M. (1987), Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces, in Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. et al., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, vol. 298, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, с. 236–253, DOI 10.1007/3-540-19020-1_12 
• Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 978-0-486-68735-3 
• Väisälä, Jussi (2005), Gromov hyperbolic spaces, Expositiones Mathematicae Т. 23 (3): 187–231, doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010, <http://www.helsinki.fi/~jvaisala/grobok.pdf> 
• Vickers, Steven (2005), Localic completion of generalized metric spaces, I, Theory and Applications of Categories Т. 14 (15): 328–356, <https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14/15/14-15abs.html>  Архивная копия от 26 апреля 2021 на Wayback Machine
• Архангельский А. В., Федорчук В. В. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 17. — ВИНИТИ, 1988. — 232 с.
• Булдыгин В. В., Козаченко Ю. В. Метрические характеристики случайных величин и процессов. — К. : ТВіМС, 1998. — 290 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу (рус.). — Москва: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.

СсылкиПравить

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Metric space, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.