Гиперметрическое пространство

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство с определёнными дополнительными условиями на метрику.

ОпределениеПравить

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

$\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0$ 

для любых точек $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_1,\dots,x_n$  и целых чисел $b_1,\dots <!--\; \dots \; -->,b_n$$b_{1},\dots ,b_{n}$  таких, что $\sum <!--\; \sum \; -->b_i=1$$\sum b_{i}=1$ .

ЗамечанияПравить

• При $b_1=b_2=1$$b_{1}=b_{2}=1$  и $b_3=-<!--\; -\; -->1$$b_{3}=-1$ , гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

  $|x_1-<!--\; -\; -->x_2|-<!--\; -\; -->|x_1-<!--\; -\; -->x_3|-<!--\; -\; -->|x_2-<!--\; -\; -->x_3|\le <!--\; \le \; -->0.$$|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.$ 

ПримерыПравить

• ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_1$$\ell _{1}$ -пространство и его подпространства.
  • Любое 6-точечное гиперметрическое пространство вкладывается в ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_1$$\ell _{1}$ .
  • Существуют примеры 7-точечных гиперметрических пространств которые не вкладываются в ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_1$$\ell _{1}$ . Такова например метика на полном графе $K_7$$K_{7}$  без двух смежных рёбер.

• Пусть $Y$$Y$  — семейство измеримых подмножеств пространства $X$$X$  с мерой $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ . Если метрика на $Y$$Y$  задана как

  $|A-<!--\; -\; -->B{|}_Y=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}((A\cup <!--\; \cup \; -->B)\setminus <!--\; \setminus \; -->(A\cap <!--\; \cap \; -->B)),$$|A-B|_{Y}=\mu (A\triangle B)=\mu ((A\cup B)\setminus (A\cap B)),$ 

то $Y$$Y$  является гиперметрическим пространством.