Метрика Громова — Хаусдорфа

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975 г., а затем переоткрыта и обобщена М. Л. Громовым в 1981 г.. Громов использовал эту метрику в доказательстве теоремы о группах полиномиального роста.

ОпределениеПравить

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств $X$$X$  и $Y$$Y$  определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях $X\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->Z$$X\hookrightarrow Z$  и $Y\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->Z$$Y\hookrightarrow Z$  в общее метрическое пространство $Z$$Z$ . При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам $Z$$Z$ .

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между $X$$X$  и $Y$$Y$  в дизъюнктном объединении $X\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->Y$$X\sqcup Y$ , снабжённым метрикой $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  такой, что сужение $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  на $X$$X$  совпадает с метрикой на $X$$X$  и сужение $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  на $Y$$Y$  совпадает с метрикой на $Y$$Y$ . При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ .

КомментарииПравить

• Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами $X$$X$  и $Y$$Y$ » говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между $X$$X$  и $Y$$Y$ ».
• Расстояние между изометрическими классами $X$$X$  и $Y$$Y$  обычно обозначается $d_{GH}(X,Y)$$d_{GH}(X,Y)$  или $|X,Y{|}_{GH}$$|X,Y|_{GH}$ .
• Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается $GH$$GH$ , $\mathcal{M}$${\mathcal {M}}$  или $\mathfrak{M}$$\mathfrak{M}$ .
• Собственный класс метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрий обозначается $\mathcal{G}\mathcal{H}$${\mathcal {GH}}$ .

Связанные определенияПравить

• Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств $X_n$$X_n$  сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства $X_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$X_{\infty }$ , если $d_{GH}(X_n,X_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})\to <!--\; \to \; -->0$$d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ 

СвойстваПравить

• Метрическое пространство $GH$$GH$  является линейно связным, полным, сепарабельным.
  • Более того, $M$$M$  является геодезическим; то есть, любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
• Пространство Громова — Хаусдорфа $GH$$GH$  глобально неоднородно; то есть, его группа изометрий тривиальна, однако локально имеется много нетривиальных изометрий.
• Пространство $GH$$GH$  изометрично пространству классов конгруэнтности компактных подмножеств пространства Урысона $\mathcal{U}$${\mathcal {U}}$  с метрикой Хаусдорфа с точностью до движения $\mathcal{U}$${\mathcal {U}}$ .
• Любое вполне равномерно ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
  • Семейство $X$$X$  метрических пространств называется вполне равномерно ограниченным, если диаметры всех пространств этого семейства ограничены одной и той же константой, и для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует такое целое положительное число $N(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$N(\varepsilon)$ , что любое пространство из $X$$X$  допускает $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -сеть из не более чем $N(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$N(\varepsilon)$  точек.
  • Из этого свойства, в частности, следует теорема Громова о компактности, аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщенияПравить

• В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
• Если разрешить метрике принимать значение $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ , то можно также отказаться от конечности диаметра.

ЛитератураПравить

• M. Gromov. «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
• M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.