Локально выпуклое пространство

Локально выпуклое пространство — линейное топологическое пространство с системой полунорм, удовлетворяющей некоторым условиям.

ОпределениеПравить

Линейное топологическое пространство $X$$X$  называется локально выпуклым пространством, если существует семейство полунорм $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  на $X$$X$ , удовлетворяющее двум условиям:

• Если $p(x)=0$$p(x)=0$  для каждого $p\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$p\in \mu$ , то $x=0$$x = 0$ .
• Если для произвольной точки $x_0$$x_{{0}}$  пространства $X$$X$ , любой конечной системы полунорм $p_1,...,p_n$$p_{1},...,p_{n}$  из $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  и любой конечной системы положительных вещественных чисел ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_1,...,{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_n$$\epsilon _{1},...,\epsilon _{n}$  рассмотреть (выпуклые) множества, состоящие из элементов $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , удовлетворяющих условию $p_{i}(x-x_{0})<\epsilon _{i}$  с $i=1,...,n$$i=1,...,n$ , то все такие множества образуют базу топологии в $X$$X$ .

СвойстваПравить

• Локально выпуклые пространства хаусдорфовы.
• Последовательность $\left\{x_n\right\}$$\left\{x_{n}\right\}$  точек локально выпуклого пространства $X$$X$  сходится к $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  в том и только том случае, если для каждой полунормы $p\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$p\in \mu$  выполняется соотношение $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}p(x_n-<!--\; -\; -->x)=0$$\lim _{n\to \infty }p(x_{n}-x)=0$ .

ЛитератураПравить

• Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.