Дискретное пространство

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения Править

• Пусть $X$$X$  — некоторое множество, а $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$  — семейство всех его подмножеств. Тогда $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$  является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара $(X,\mathcal{T})$$(X,{\mathcal {T}})$  называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
• Пусть $(X,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})$$(X,\rho )$  — метрическое пространство, где метрика $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  определена следующим образом:

$\rho (x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y,\\0,&x=y,\end{cases}}\quad x,y\in X.$ 

Тогда $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание Править

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры Править

• Пусть $X=\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,n\},$$X=\{1,\ldots ,n\},$  где $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in \mathbb {N}$ , и $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — дискретная метрика на $X$$X$ . Тогда $(X,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})$$(X,\rho)$  — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
• Пусть $X={\left\{\frac{1}{n}\right\}}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}$$X=\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$  и $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(x,y)=|x-<!--\; -\; -->y|.$$\rho (x,y)=|x-y|.$  Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

Свойства Править

• Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
• Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
• Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
• Дискретное метрическое пространство ограничено.
• Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
• Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
• Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также Править

• Тривиальная топология.