Гомеоморфизм

Не следует путать с гомоморфизмом.

Гомеоморфи́зм — непрерывное обратимое преобразование пространства. Является центральным понятием топологии.

Гомеоморфность кружки и бублика (полнотория)

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства эквивалентны.

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: ὅμοιος — похожий и μορφή — форма.

ОпределениеПравить

Пусть $(X,{\mathcal{T}}_X)$$(X,\mathcal{T}_X)$  и $(Y,{\mathcal{T}}_Y)$$(Y,\mathcal{T}_Y)$  — два топологических пространства. Функция $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X \to Y$  называется гомеоморфизмом, если:

• $f$$f$  взаимно однозначна;
• $f$$f$  непрерывна;
• обратная функция $f^{-<!--\; -\; -->1}$$f^{-1}$  непрерывна.

Иными словами, $f$$f$  биективна и для любого подмножества $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X$$A\subseteq X$  условие $A\in <!--\; \in \; -->{\mathcal{T}}_X$$A\in {\mathcal {T}}_{X}$  выполняется в том и только в том случае, если $f(A)\in <!--\; \in \; -->{\mathcal{T}}_Y$$f(A)\in {\mathcal {T}}_{Y}$ .

Если между пространствами $X$$X$  и $Y$$Y$  существует гомеоморфизм, то пишут $X\simeq <!--\; \simeq \; -->Y$$X\simeq Y$  или $X\cong <!--\; \cong \; -->Y$$X\cong Y$  и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.

ПримерыПравить

• На плоскости любые два выпуклых многоугольника гомеоморфны.

• Пространства разной мощности не гомеоморфны. Два пространства, наделённых дискретной топологией, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.

• Произвольный открытый интервал $(a,b)\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$(a,b) \subset \mathbb{R}$  гомеоморфен всей вещественной прямой $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ . Гомеоморфизм $f:(a,b)\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:(a,b) \to \mathbb{R}$  задаётся, например, формулой

$f(x)=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{x-<!--\; -\; -->a}{b-<!--\; -\; -->a}\right).$$f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).$ 

В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.

• Отрезок $[0,1]$$[0, \; 1]$  не гомеоморфен вещественной прямой $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ . Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.

• Если $n\ne <!--\; \ne \; -->m$$n\neq m$ , то ${\mathbb{R}}^n\ncong {\mathbb{R}}^m$$\mathbb {R} ^{n}\not \cong \mathbb {R} ^{m}$ .

• Теорема о гомеоморфизме. Пусть $|a,b|\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$|a,b|\subset \mathbb{R}$  — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть $f:|a,b|\to <!--\; \to \; -->f(|a,b|)\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R$  — биекция. Тогда $f$$f$  является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$$f$  строго монотонна и непрерывна на $|a,b|.$$|a,b|.$ 

Топологические инварианты и свойстваПравить

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть топологическим многообразием.

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.

Локальный гомеоморфизмПравить

Непрерывное отображение $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки пространства $X$$X$  имеется такая окрестность $U$$U$ , что образ $f(U)$$f(U)$  открыт в $Y$$Y$  и сужение $f{|}_U:U\to <!--\; \to \; -->f(U)$$f|_{U}:U\to f(U)$  является гомеоморфизм.

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение $x\to <!--\; \to \; -->(\cos <!--\; \; -->x,\sin <!--\; \; -->x)$$x\to (\cos x,\sin x)$  является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой $\mathbb{R}$${\mathbb {R} }$  в окружность $S^1$$S^{1}$ . Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений $(0,1)\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$(0,1)\to {\mathbb {R} }$  и $[0,1]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$[0,1]\to {\mathbb {R} }$  первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.

См. такжеПравить

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Универсальный гомеоморфизм

ЛитератураПравить

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
• Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.

СсылкиПравить

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Homeomorphism, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4