Полная линейная группа

Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям.

Полная линейная группа векторного пространства $\text{[math]}$ V — это группа обратимых линейных операторов вида $\text{[math]}$ C: V → V^[1]. Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.

Обычно обозначается $\text{[math]}$ GL(V).

Полная линейная группа порядка $\text{[math]}$ n — это группа обратимых матриц порядка $\text{[math]}$ n (то есть квадратных матриц с $\text{[math]}$ n строками и $\text{[math]}$ n столбцами)^[2]. Роль групповой операции играет обычное умножение матриц.

Обычно обозначается $\text{[math]}$ GL(n)^[3]. Если требуется явно указать, какому полю (или, в более общем случае, коммутативному кольцу с единицей) $\text{[math]}$ K должны принадлежать элементы матрицы, то пишут: $\text{[math]}$ GL(n, K)^[4] или $\text{[math]}$ GL_n(K).

Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами, полная линейная группа порядка $\text{[math]}$ n обозначается $\text{[math]}$ GL(n, R), а если над комплексными числами, то $\text{[math]}$ GL(n, C).

Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве $\text{[math]}$ Kⁿ (то есть пространстве n-мерных столбцов с элементами из $\text{[math]}$ K). Поэтому $\text{[math]}$ GL(n, R) = GL(Rⁿ) и $\text{[math]}$ GL(n, C) = GL(Cⁿ).

Во-вторых, введение базиса в n-мерном векторном пространстве $\text{[math]}$ V над полем скаляров $\text{[math]}$ K позволяет взаимно однозначно сопоставить линейному оператору $\text{[math]}$ C : V → V его матрицу — квадратную матрицу порядка $\text{[math]}$ n из компонент оператора $\text{[math]}$ C в этом базисе. При этом обратимому оператору будет отвечать невырожденная матрица, и мы получаем взаимно однозначное соответствие между группами $\text{[math]}$ GL(V) и $\text{[math]}$ GL(n, K) (это соответствие в действительности является изоморфизмом данных групп).

СвойстваПравить

Если $\text{[math]}$ V — векторное пространство над полем скаляров $\text{[math]}$ K, то полная линейная группа пространства $\text{[math]}$ V представляет собой группу всех автоморфизмов пространства $\text{[math]}$ V. Группу $\text{[math]}$ GL(V) и её подгруппы называют линейными группами.

В полной линейной группе $\text{[math]}$ GL(n, K) можно выделить подгруппу $\text{[math]}$ SL(n, K), состоящую из всех матриц с определителем, равным 1. Это — специальная линейная группа порядка $\text{[math]}$ n, обозначаемая $\text{[math]}$ SL(n, K).

Другие важные подгруппы группы $\text{[math]}$ GL(n, K):

Диагональная группа — группа $\text{[math]}$ D(n, K), состоящая из всех диагональных матриц порядка $\text{[math]}$ n;
Треугольная группа — группа $\text{[math]}$ T(n, K), состоящая из невырожденных верхних треугольных матриц порядка $\text{[math]}$ n (то есть матриц, у которых все элементы под главной диагональю нулевые);
Унитреугольная группа — группа $\text{[math]}$ UT(n, K), состоящая из тех верхних треугольных матриц порядка $\text{[math]}$ n, у которых диагональные элементы равны 1.

Группу $\text{[math]}$ GL(n, K) и её подгруппы часто называют матричными группами (заметьте, что их можно именовать и линейными группами, а вот группа $\text{[math]}$ GL(V) — линейная, но не матричная).

В частности, подгруппами группы $\text{[math]}$ GL(n, R) являются специальная линейная группа $\text{[math]}$ SL(n, R), ортогональная группа $\text{[math]}$ O(n), специальная ортогональная группа $\text{[math]}$ SO(n) и др.

Подгруппами группы $\text{[math]}$ GL(n, C) являются специальная линейная группа $\text{[math]}$ SL(n, C), унитарная группа $\text{[math]}$ U(n), специальная унитарная группа $\text{[math]}$ SU(n) порядка n и др.

Полные линейные группы $\text{[math]}$ GL(n, R) и $\text{[math]}$ GL(n, C) (как и перечисленные в двух предыдущих абзацах их основные подгруппы) являются^[5] группами Ли. Эти группы важны в теории представлений групп; возникают они и при изучении различного рода симметрий.

Заметим ещё, что при n = 1 группа $\text{[math]}$ GL(n, K) фактически сводится к группе $\text{[math]}$ (K^*, •) ненулевых скаляров поля $\text{[math]}$ K (обе группы канонически изоморфны) и поэтому является абелевой (коммутативной). При n, большем 1, группы $\text{[math]}$ GL(n, K) абелевыми не являются.

ПримечанияПравить

↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 24.
↑ Платонов В. П. Полная линейная группа // Матем. энциклопедия. Т. 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — Стб. 416—417.
↑ Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — С. 268—271.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 34.
↑ Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — С. 420.

ЛитератураПравить

Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. — 496 с.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1972. — 240 с.

См. такжеПравить

Проективная группа

[_a2122999e542d6d6-1] Кострикин, Манин, 1986, с. 24.

[2] Платонов В. П. Полная линейная группа // Матем. энциклопедия. Т. 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — Стб. 416—417.

[3] Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — С. 268—271.

[_a2122a99e542d8a1-4] Кострикин, Манин, 1986, с. 34.

[5] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — С. 420.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]