Неприводимый элемент

Неприводи́мый элеме́нт (неразложимый элемент) — одно из основных понятий теории колец.

Пусть R — область целостности, т.е. коммутативное кольцо без делителей нуля. Элемент p≠0 называется неприводимым, если он не является обратимым и из равенства p=bc, следует, что либо b, либо c является обратимым.

Если p≠0 — простой элемент, т.е. (p) — простой идеал, то p неприводим. В самом деле, тогда если p=ab имеем в силу простоты (p) что, например $a\in <!--\; \in \; -->(p)$$a\in (p)$. Тогда имеем: a=px для некоторого x, значит a=abx и bx=1, т.е. b является обратимым. Обратное в общем случае неверно, хотя выполняется для всякого факториального кольца.

Многочлены над кольцом R называются неприводимыми, если они являются неприводимыми элементами $R[x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n]$$R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$.

ЛитератураПравить

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. такжеПравить

• Критерий Эйзенштейна
• Неприводимый многочлен