Метрический тензор

Не следует путать с метрическим пространством — множеством, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству. В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу.

Способы заданияПравить

Координатное представлениеПравить

Метрический тензор в локальных координатах $x^1,x^2,\dots <!--\; \dots \; -->,x^n$$x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}$ , обычно задаётся как ковариантное тензорное поле $g_{ij}$$g_{ij}\$ . Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^i}$$\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ :

$⟨{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_j⟩=g_{ij}.$$\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{{ij}}.$ 

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

$⟨v,w⟩=g_{ij}{v}^i{w}^j$$\left\langle v,w\right\rangle =g_{{ij}}v^{i}w^{j}$ ,

где $v=v^i{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i,w=w^i{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_i$$v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}$  — представление векторных полей в локальных координатах.

ЗамечанияПравить

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора $g^{ij}$$g^{ij}$ .

В случае невырожденных метрик

$g^{ij}{g}_{jk}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_k^i,$$g^{{ij}}g_{{jk}}=\delta _{k}^{i},$ 

где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_k^i$$\delta _{k}^{i}$  — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор $g^{ij}$$g^{ij}$ , но тензор $g_{ij}$$g_{ij}$  для неё не определён.

Представление в поле реперовПравить

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля $\{e_i(p)\}$$\{e_{i}(p)\}$  и матрицы $g_{ik}(p)=⟨<!--\; ⟨\; -->e_i(p),e_k(p)⟩<!--\; ⟩\; -->$$g_{{ik}}(p)=\langle e_{i}(p),e_{k}(p)\rangle$ .

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов.

Индуцированная метрикаПравить

Метрика, которая индуцируется гладким вложением $r$$r$  многообразия $M$$M$  в евклидово пространство $E$$E$ , может быть посчитана по формуле:

$g=J_r^T{J}_r,$$g=J_{r}^{T}J_{r},$ 

где $J_r$$J_{r}$  означает матрицу Якоби вложения $r$$r$  и $J_r^T$$J_{r}^{T}$  — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}$${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ , которые в этом случае можно отождествить с $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}$${\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}$ , определяются как

$g_{ij}=g\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}\right)=⟨\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}⟩,$$g_{{ij}}=g\left({\frac \partial {\partial x_{i}}},{\frac \partial {\partial x_{j}}}\right)=\left\langle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial r}{\partial x_{j}}}\right\rangle ,$ 

где $⟨<!--\; ⟨\; -->\ast <!--\; \ast \; -->,\ast <!--\; \ast \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle *,*\rangle$  обозначает скалярное произведение в $E$$E$ .

Более обобщенноПравить

Пусть $(N,h)$$(N,h)$  многообразие с метрикой и $r:M\to <!--\; \to \; -->N$$r:M\to N$  гладкое вложение. Тогда метрика $g$$g$  на $M$$M$ , определённая равенством

$g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))$$g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))$ 

называется индуцированной метрикой. Здесь $dr$$dr$  обозначает дифференциал отображения $r$$r$ .

Типы метрических тензоровПравить

Совокупность метрических тензоров $g$$g$  подразделяется на два класса:

• невырожденные или псевдоримановы метрики, когда $det(g_{ij})\ne <!--\; \ne \; -->0$$\ \det(g_{{ij}})\neq 0$  во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
  • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
  • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
    • К этому классу относится метрика Лоренца.
• Вырожденные метрики, когда $det(g_{ij})=0$$\ \det(g_{{ij}})=0$  либо $det(g^{ij})=0$$\ \det(g^{{ij}})=0$  в некоторых точках.
  • Многообразие $M^n$$M^{n}$ , метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского).
  • Субримановы метрики.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определенияПравить

• Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
• Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
• Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
• Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

СвойстваПравить

• Риманов метрический тензор может быть введён на любом паракомпактном гладком многообразии.
• Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства
• Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на её основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объёмПравить

Определитель матрицы метрического тензора $|det\{g_{ij}\}|$$|\det\{g_{{ij}}\}|$  дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина $\sqrt{|det\{g_{ij}\}|}$${\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}$  играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, $\sqrt{|det\{g_{ij}\}|}$${\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}$  входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

$S=\int <!--\; \int \; -->s(x)d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\int <!--\; \int \; -->s(x)\sqrt{|det\{g_{ij}\}|}d{x}^{1}d{x}^2\dots <!--\; \dots \; -->d{x}^n,$$S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{{ij}}\}|}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,\ldots \,dx^{n},$ 

где $d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$d\Omega$  — это элемент $n$$n$ -мерного объема, а $d{x}^i$$dx^{i}$  — дифференциалы координат.

• Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

ПримерыПравить

• Метрический тензор на евклидовой плоскости:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{{ij}}=\delta _{{ij}}$ 

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В полярных координатах: $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$(r,\theta )$ 

    $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\$ 

• Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса $R$$R$ , вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах $(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$(\theta ,\varphi )$  метрика принимает вид:

  $g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$ 

• Метрический тензор для трёхмерного евклидова пространства:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{{ij}}=\delta _{{ij}}$ 

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В сферических координатах: $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$(r,\theta ,\phi )$ :

    $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$ 

• Метрика Лоренца (Метрика Минковского).
• Метрика Шварцшильда

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространствамиПравить

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть $v\in <!--\; \in \; -->T_{p}M$$v\in T_{p}M$  — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора $g$$g$  на $M$$M$ , мы получаем, что $g(v,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$g(v,\cdot )$ , то есть отображение, которое переводит другой вектор $w\in <!--\; \in \; -->T_{p}M$$w\in T_{p}M$  в число $g(v,w)$$g(v,w)$ , является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) $T_p^{\ast <!--\; \ast \; -->}M$$T_{p}^{*}M$ . Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что $g$$g$  сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

$g_{ij}{v}^j=v_i$$\ g_{{ij}}v^{j}=v_{i}$  — опускание индекса для вектора,

$g^{ij}{v}_j=v^i$$\ g^{{ij}}v_{j}=v^{i}$  — поднятие индекса для вектора,

$g^{ij}{g}_{mn}{T}_{jpq}^{nrs}=T_{mpq}^{irs}$$\ g^{{ij}}g_{{mn}}T_{{j\ \ \ pq}}^{{\ nrs}}=T_{{\ m\ \ pq}}^{{i\ \ rs}}$  — пример одновременного поднятия индекса $j$$j$  и опускания индекса $n$$n$  для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же, как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. такжеПравить

• Тензор кривизны
• Ковариантная производная
• Метрическое пространство