Сферическая система координат

Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$(r,\;\theta ,\;\varphi )$, где $r$$r$ — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ и $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы $Oxyz$$Oxyz$, фундаментальной плоскостью будет плоскость $xy$$xy$, зенитным углом точки, заданной радиус-вектором $P$$P$, будет угол между $P$$P$ и осью $z$$z$, а азимутом — угол между проекцией $P$$P$ на плоскость $xy$$xy$ и осью $x$$x$. Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

ОпределенияПравить

Положение точки $P$$P$  в сферической системе координат определяется тройкой $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$(r,\;\theta ,\;\varphi )$ , где

• $r⩾<!--\; ⩾\; -->0$$r\geqslant 0$  — расстояние от начала координат до заданной точки $P$$P$ .
• $0^{\circ <!--\; \circ \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->{180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$  — угол между осью $z$$z$  и отрезком, соединяющим начало координат и точку $P$$P$ .
• $0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }$  — угол между осью $x$$x$  и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой $P$$P$ , на плоскость $xy$$xy$  (см. рис. 1).

Угол $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — азимутальным. Углы $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  и $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  не определены при $r=0$$r=0$ , также не определён угол $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  при $\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=0$$\sin(\theta )=0$  (то есть при $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=0$$\theta =0$  или $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\theta =180^{\circ }$ ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ , используется угол между радиус-вектором точки $P$$P$  и плоскостью $xy$$xy$ , равный ${90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$90^{\circ }-\theta$ . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ . Широта может изменяться в пределах $-<!--\; -\; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ . При этом соглашении углы $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  и $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  не имеют значения при $r=0$$r=0$ , так же как и в первом случае, а $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  не имеет значения при $\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=0$$\cos(\theta )=0$  (то есть при $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=-<!--\; -\; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\theta =-90^{\circ }$  или $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}={90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\theta =90^{\circ }$ ).

Переход к другим системам координатПравить

Декартова система координатПравить

Если заданы сферические координаты точки $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$(r,\;\theta ,\;\varphi )$ , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

$\{\begin{array}{l}x=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},\\ y=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},\\ z=r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.\end{array}$${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$ 

Обратно, от декартовых к сферическим:

$\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\arccos <!--\; \; -->\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},\\ \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{y}{x}.\end{array}$${\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}$ 

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен

${\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}$ 

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=J(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})\mathrm{d}r\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=r^2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\mathrm{d}r\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$ 

Цилиндрическая система координатПравить

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

$\{\begin{array}{l}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\\ \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},\\ z=r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.\end{array}$${\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$ 

Обратно от цилиндрических к сферическим:

$\{\begin{array}{l}r=\sqrt{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2+z^2},\\ \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{z},\\ \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.\end{array}$${\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z}},\\\varphi =\varphi .\end{cases}}$ 

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим $J=r$$J=r$ .

Дифференциальные характеристикиПравить

Вектор $\mathrm{d}\mathbf{r}$$\mathrm {d} \mathbf {r}$ , проведённый из точки $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$(r,\theta ,\varphi )$  в точку $(r+\mathrm{d}r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )$ , равен

$\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}r\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{r}}+r\mathrm{d}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{\theta <!--\; \theta \; -->}}+r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\mathrm{d}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{\phi <!--\; \phi \; -->}},$$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,$ 

где

$\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{r}}=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{ı<!--\; ı\; -->}}+\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{ȷ<!--\; ȷ\; -->}}+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{k}}$${\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}$ 

$\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{ı<!--\; ı\; -->}}+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{ȷ<!--\; ȷ\; -->}}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{k}}$${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}$ 

$\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{\phi <!--\; \phi \; -->}}=-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{ı<!--\; ı\; -->}}+\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{ȷ<!--\; ȷ\; -->}}$${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}$ 

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения $r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$r,\theta ,\varphi$ , соответственно, а $\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{ı<!--\; ı\; -->}},\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{ȷ<!--\; ȷ\; -->}},\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{k}}$${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$  — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

$g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}$ 

• $det(g_{ij})=r^4{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.$$\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$ 
• Квадрат дифференциала длины дуги:

$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2+r^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2.$$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.$ 

• Коэффициенты Ламе:

$H_r=1,H_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=r,H_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.$$H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .$ 

• Символы Кристоффеля $\{r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\}$$\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$ :

${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{22}^1=-<!--\; -\; -->r,{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{33}^1=-<!--\; -\; -->r{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$$\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,$ 

${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{21}^2={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{12}^2={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{13}^3={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{31}^3=\frac{1}{r},$$\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},$ 

${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{33}^2=-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{23}^3={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{32}^3=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}.$$\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .$ 

Остальные равны нулю.

Математическое моделирование ЗемлиПравить

Сферическая географическая система координатПравить

Сферическая географическая система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси вращения Земли;
• координата $r$$r$  отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  есть коширота (дополнение географической широты до ${90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$90^{\circ }$ );
• азимутальный угол $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  совпадает с географической долготой (восточной).

Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли $\mathbf{B}$$\mathbf {B}$  имеет компоненты

$B_r=-<!--\; -\; -->B\sin <!--\; \; -->I,B_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=-<!--\; -\; -->B\cos <!--\; \; -->I\cos <!--\; \; -->D,B_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=B\cos <!--\; \; -->I\sin <!--\; \; -->D,$$B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,$ 

где $I$$I$  — магнитное наклонение; $D$$D$  — магнитное склонение.

Компоненты вектора ускорения свободного падения $\mathbf{g}$${\mathbf {g}}$  равны

$g_r=-<!--\; -\; -->g,g_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=g_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=0.$$g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.$ 

Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли $\mathbf{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\mathbf {\Omega }$  такие:

${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_r=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=0.$$\Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.$ 

В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства.

Сферическая геомагнитная система координатПравить

Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом:

• её начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса;
• координата $r$$r$  отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол $\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}$$\Theta$  есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$  до ${90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}:<!--\; :\; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2-<!--\; -\; -->\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi$ );
• азимутальный угол $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$  совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии, содержащей географический и геомагнитный полюсы.

Географические координаты северного магнитного полюса равны

${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0=4,6^{\circ <!--\; \circ \; -->},{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0=43,0^{\circ <!--\; \circ \; -->}(2012).$$\theta _{0}=4,6^{\circ },\;\varphi _{0}=43,0^{\circ }\;(2012).$ 

В сферической геомагнитной системе координат склонение $D=0$$D=0$  и

$B_r=-<!--\; -\; -->B\sin <!--\; \; -->I,B_{\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}=-<!--\; -\; -->B\cos <!--\; \; -->I,B_{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}=0,$$B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,$ 

$g_r=-<!--\; -\; -->g,g_{\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}=g_{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}=0.$$g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.$ 

${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_r=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\sin <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}),$$\Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),$ 

${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\sin <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}),$$\Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),$ 

${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\sin <!--\; \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}.$$\Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .$ 

Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты:

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}=\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0),$$\cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),$ 

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=\frac{-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0)}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}},$$\cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0})}{\sin \Theta }},$ 

$\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\sin <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->},$$\cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,$ 

$\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0)=\frac{\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}+\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0\sin <!--\; \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}.$$\cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta }}.$ 

В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах, описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства.

См. такжеПравить

• Углы Эйлера
• Гиперсферические координаты

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.