Интеграл Пуассона

Не следует путать с Интеграл Эйлера — Пуассона.

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

Задача Дирихле для уравнения ЛапласаПравить

Интеграл Пуассона для задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре выглядит следующим образом.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: $u(r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})\in <!--\; \in \; -->C^2(D)\cap <!--\; \cap \; -->C(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{D}),u_0(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})\in <!--\; \in \; -->C^1(\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}D)$$u(r,\varphi )\in C^{2}(D)\cap C({\overline {D}}),\ u_{0}(\varphi )\in C^{1}(\partial D)$ , где ∂D — граница шара D, а $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{D}$$\overline {D}$  — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

$u(r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=\frac{R^2-<!--\; -\; -->r^2}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{n}R}\underset{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}D}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{u_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}{|r-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{|}^n}dS(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}),r\in <!--\; \in \; -->[0;R),$$u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{\omega _{n}R}}\int \limits _{\partial D}{\frac {u_{0}(\psi )}{|r-\psi |^{n}}}\,dS(\psi ),\ r\in [0;R),$ 

где ω_n — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случаеПравить

Известно, что функция

$u(r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=a_0+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n(a_n\cos <!--\; \; -->n\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{a}}_n\sin <!--\; \; -->n\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$u(r,\varphi )=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(a_{n}\cos n\varphi +{\tilde {a}}_{n}\sin n\varphi )$ 

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

$u(r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{u}_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}+\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n\left(\cos <!--\; \; -->n\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{u}_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\cos <!--\; \; -->n\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}+\sin <!--\; \; -->n\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{u}_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\sin <!--\; \; -->(n\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\right)=$$u(r,\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi +{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\left(\cos n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\sin(n\psi )d\psi \right)=$ $=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{u}_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\left(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n(\cos <!--\; \; -->n\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\cos <!--\; \; -->n\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}+\sin <!--\; \; -->n\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\sin <!--\; \; -->n\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\right)d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}+\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{u}_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=$$={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(\cos n\varphi \cos n\psi +\sin n\varphi \sin n\psi )\right)d\psi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi =$ $=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{u}_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\left(\frac{1}{2}+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n\cos <!--\; \; -->n(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\right)d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}.$$={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left({\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )\right)d\psi .$ 

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:

$\frac{1}{2}+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n\cos <!--\; \; -->n(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})=\frac{1}{2}+\mathrm{Re}<!--\; \; -->\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{r}{R}{e}^{i(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}\right)}^n=\frac{1}{2}+\mathrm{Re}<!--\; \; -->\frac{\frac{r}{R}{e}^{i(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}}{1-<!--\; -\; -->\frac{r}{R}{e}^{i(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}}=$${\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\right)^{n}={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}{1-{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}}=$ $=\frac{1}{2}+\mathrm{Re}<!--\; \; -->\frac{\frac{r}{R}{e}^{i(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{r}{R}{e}^{-<!--\; -\; -->i(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})}\right)}{1-<!--\; -\; -->2\frac{r}{R}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})+{\left(\frac{r}{R}\right)}^2}=\frac{R^2-<!--\; -\; -->r^2}{2\left(R^2+r^2-<!--\; -\; -->2Rr\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\right)}.$$={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\left(1-{\frac {r}{R}}e^{-i(\varphi -\psi )}\right)}{1-2{\frac {r}{R}}\cos(\varphi -\psi )+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}}={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\left(R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )\right)}}.$ 

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:

$u(r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=\frac{R^2-<!--\; -\; -->r^2}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{u_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{R^2+r^2-<!--\; -\; -->2Rr\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})},r\in <!--\; \in \; -->[0,R).$$u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).$ 

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области $U$$U$  функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лапласа. Известно, что при конформном отображении области $U$$U$  плоскости $z=x+iy$$z=x+iy$  на область $V$$V$  плоскости $w=\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}+i\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$w=\xi +i\eta$  уравнение Лапласа для функции $u(x,y)$$u(x,y)$  переходит в уравнение $\mathrm{△<!--\; △\; -->}u(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})=0$$\triangle u(\xi ,\eta )=0$ . С помощью дробно-линейной функции легко получить отображение исходного круга радиуса $R$$R$  на единичный круг, при котором произвольная точка $z_0=r_0{e}^{i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0}$$z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}$  переходит в центр. Такая функция имеет вид:

$w=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{e}^{i\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}=f(z)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\frac{z-<!--\; -\; -->z_0}{z-<!--\; -\; -->\frac{R^2}{{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}_0}}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\frac{z-<!--\; -\; -->r_0{e}^{i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0}}{z-<!--\; -\; -->\frac{R^2}{r_0}{e}^{i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0}},$$w=\rho e^{i\psi }=f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{z-{\frac {R^{2}}{{\bar {z}}_{0}}}}}=\lambda {\frac {z-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{z-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},$ 

где $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки $|w|=1$$|w|=1$ , при этом $|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|=\frac{R}{r_0}$$|\lambda |={\frac {R}{r_{0}}}$ , а $arg(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$${arg}(\lambda )$  произволен. Искомая функция $u(r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$u(r,\varphi )$  перейдёт в функцию $U(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})$$U(\rho ,\psi )$ . Граничная функция $u_0(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$u_{0}(\varphi )$  перейдёт в $U_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})=u_0(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(1,\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}))$$U_{0}(\psi )=u_{0}(\varphi (1,\psi ))$ . Тогда по теореме о среднем:

$u(r_0,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0)=U{|}_{w=0}=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{U}_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}.$$u(r_{0},\varphi _{0})=U\vert _{w=0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }U_{0}(\psi )d\psi .$ 

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить $U_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})$$U_{0}(\psi )$  через $u_0(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$u_{0}(\varphi )$ . Для граничных точек круга $|z|⩽<!--\; ⩽\; -->R$$|z|\leqslant R$  и круга $|w|⩽<!--\; ⩽\; -->1$$|w|\leqslant 1$  формула дробно-линейного преобразования даёт

$e^{i\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}=\frac{R}{r_0}\frac{R{e}^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}-<!--\; -\; -->r_0{e}^{i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0}}{R{e}^{i\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{R^2}{r_0}{e}^{i{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0}},$$e^{i\psi }={\frac {R}{r_{0}}}{\frac {Re^{i\varphi }-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{Re^{i\varphi }-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},$ 

откуда

$d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=\frac{R^2-<!--\; -\; -->r_0^2}{R^2+r_0^2-<!--\; -\; -->2R{r}_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0)}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$$d\psi ={\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}d\varphi .$ 

Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:

$u(r_0,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{R^2-<!--\; -\; -->r_0^2}{R^2+r_0^2-<!--\; -\; -->2R{r}_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0)}{u}_0(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},r_0\in <!--\; \in \; -->[0,R).$$u(r_{0},\varphi _{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}u_{0}(\varphi )d\varphi ,\ r_{0}\in [0,R).$ 

Это выражение эквивалентно вышеприведённому:

$u(r,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=\frac{R^2-<!--\; -\; -->r^2}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{u_0(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})d\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{R^2+r^2-<!--\; -\; -->2Rr\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})},r\in <!--\; \in \; -->[0,R).$$u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).$ 

Задача Коши для уравнения теплопроводностиПравить

Однородное уравнениеПравить

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}-<!--\; -\; -->a^2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u=0,x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,t>0,\\ u(x,0)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x),x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,\end{array}$${\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0,\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\\\end{array}}$

где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$  — начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция $u=u(x,t)$$u=u(x,t)$  является непрерывной и ограниченной при $t\ge <!--\; \ge \; -->0$$t\geq 0$  и всех значениях аргумента $x$$x$ .

Фундаментальным решением или ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)$$\varphi (x)=\delta (x)$ , где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)$$\delta(x)$  — дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x,t)=\frac{1}{(2a\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}t}{)}^n}\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{|x{|}^2}{4a^{2}t}),x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,t>0.$$\Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in {\mathbb {R}}^{n},\ t>0.$ 

где $|x{|}^2=x_1^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n^2$$|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$  — стандартный скалярный квадрат вектора $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$x \in \mathbb{R}^n$ .

Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши по следующей формуле:

$u(x,t)=\underset{{\mathbf{R}}^n}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x-<!--\; -\; -->y,t)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)dy=\frac{1}{(2a\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}t}{)}^n}\underset{{\mathbf{R}}^n}{\int <!--\; \int \; -->}\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{|x-<!--\; -\; -->y{|}^2}{4a^{2}t})\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)dy.$$u(x,t)=\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}\Phi (x-y,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.$ 

Неоднородное уравнениеПравить

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности:

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}-<!--\; -\; -->a^2\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u=f(x,t),x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,t>0,\\ u(x,0)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x),x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n.\end{array}$${\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n}.\\\end{array}}$

В этом случае интеграл Пуассона имеет вид:

$u(x,t)=\frac{1}{(2a\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}t}{)}^n}\underset{{\mathbf{R}}^n}{\int <!--\; \int \; -->}\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{|x-<!--\; -\; -->y{|}^2}{4a^{2}t})\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)dy+$$u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+$ 

$+\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}\underset{{\mathbf{R}}^n}{\int <!--\; \int \; -->}\frac{1}{(2a\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(t-<!--\; -\; -->s)}{)}^n}\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{|x-<!--\; -\; -->y{|}^2}{4a^2(t-<!--\; -\; -->s)})f(y,s)dyds.$$+\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (t-s)}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}(t-s)}}{\biggr )}\,f(y,s)\,dy\,ds.$ 

ОбобщенияПравить

По теореме Римана об области, связная односвязная область в $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  конформно эквивалентна диску с метрикой Пуанкаре, то есть плоскости Лобачевского. Она допускает описание как однородное пространство, а именно $\mathrm{S}\mathrm{O}(2,1)/\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$$\mathrm {SO} (2,1)/\mathrm {SO} (2)$ . Его ближайшими родственниками служат многомерное пространство Лобачевского ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{n+1}=\mathrm{S}\mathrm{O}(n+1,1)/\mathrm{S}\mathrm{O}(n+1)$$\Lambda ^{n+1}=\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$ , а также комплексное ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_{\mathbb{C}}^{n+1}=\mathrm{S}\mathrm{U}(n+1,1)/\mathrm{S}\mathrm{U}(n+1)$$\Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1}=\mathrm {SU} (n+1,1)/\mathrm {SU} (n+1)$  и кватернионное ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_{\mathbb{H}}^{n+1}=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1,1)/\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)$$\Lambda _{\mathbb {H} }^{n+1}=\mathrm {Sp} (n+1,1)/\mathrm {Sp} (n+1)$  пространства Лобачевского.

В случае вещественного пространства Лобачевского аналог преобразования Пуассона для внешних форм Картана был найден П.-И. Гэйяром. Оно сопоставляет внешней форме, определённой на абсолюте, гармоническую козамкнутую форму на пространстве Лобачевского. Именно, пространство ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{n+1}\times <!--\; \times \; -->S^n$$\Lambda ^{n+1}\times S^{n}$ , где $S^n=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{n+1}$$S^{n}=\partial \Lambda ^{n+1}$  — абсолют, является однородным пространством для группы $\mathrm{S}\mathrm{O}(n+1,1)/\mathrm{S}\mathrm{O}(n+1)$$\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$ . На нём имеются инвариантные внешние формы ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_k\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{k,n-<!--\; -\; -->k}({\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{n+1}\times <!--\; \times \; -->S^n)$$\pi _{k}\in \Omega ^{k,n-k}(\Lambda ^{n+1}\times S^{n})$  (то есть такие, которые, быть может, принимают ненулевые значения только при подстановке в них $k$$k$  векторных полей, касающихся сомножителя ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{n+1}$$\Lambda ^{n+1}$  и $n-<!--\; -\; -->k$$n-k$  векторных полей, касающихся сомножителя-абсолюта). Если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^k(S^n)$$\alpha \in \Omega ^{k}(S^{n})$ , то интеграл Пуассона от неё определяется как послойный интеграл внешнего произведения $p_{S^n}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\wedge <!--\; \wedge \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_k$$p_{S^{n}}^{*}\alpha \wedge \pi _{k}$ , где $p_{S^n}:<!--\; :\; -->{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^{n+1}\times <!--\; \times \; -->S^n\to <!--\; \to \; -->S^n$$p_{S^{n}}\colon \Lambda ^{n+1}\times S^{n}\to S^{n}$  — проекция на сомножитель. Эти формы, в сущности, являются высшими ядрами Пуассона. Инвариантные формы на однородном пространстве могут быть заданы в одной точке, и взаимно однозначно соответствуют тривиальным подпредставлениям внешней степени соответствующего присоединённого представления группы, относительно которой пространство однородно; в случае вещественного пространства Лобачевского такие формы единственны с точностью до пропорциональности в силу одномерности соответствующего тривиального подпредставления.

В случае комплексного и кватернионного пространств Лобачевского эти подпредставления уже не одномерны, поэтому определить подобным образом какое-либо каноническое преобразование Пуассона не представляется возможным. Это, однако, возможно с учётом более тонкой геометрической структуры на абсолюте: именно, абсолют $S^{2n+1}$$S^{2n+1}$  комплексного пространства Лобачевского ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_{\mathbb{C}}^{n+1}$$\Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1}$  (как и вообще граница всякого комплексного многообразия) имеет КР-структуру, то есть вполне неинтегрируемое распределение (которое, если реализовать сферу $S^{2n+1}$$S^{2n+1}$  как единичную сферу в пространстве ${\mathbb{C}}^{n+1}$$\mathbb {C} ^{n+1}$  можно определить в каждой точке $x\in <!--\; \in \; -->S^{2n+1}$$x\in S^{2n+1}$  как максимальное комплексное подпространство, содержащееся в касательном пространстве $T_x{S}^{2n+1}$$T_{x}S^{2n+1}$  к сфере). В случае кватернионного пространства Лобачевского аналогичную роль играет так называемая кватернионно-контактная структура. Со всяким вполне неинтегрируемым распределением связан комплекс Рюмина, аналогичный комплексу де Рама гладкого многообразия. Его аналог, который может быть определён чисто в алгебраических терминах теории представлений, называется комплексом Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда. В нём имеются естественные операции, родственные элементу Казимира. Дополнительные условия на то, как должно себя вести ядро Пуассона относительно таких операций, позволяют выбрать его однозначно с точностью до пропорциональности.

ЛитератураПравить

• Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III. — Любое издание.
• Уроев В. М. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.