Присоединённое представление группы Ли

Присоединённое представление группы Ли — линейное представление группы Ли на своей алгебре Ли. Обычно обозначается $\mathrm{Ad}$$\operatorname {Ad}$.

ОпределениеПравить

Пусть $G$$G$  — группа Ли. Касательное пространство $T_{e}G$$T_{e}G$  в единице группы есть её алгебра Ли $\mathfrak{g}$$\mathfrak g$ . Для каждого элемента $a\in <!--\; \in \; -->G$$a\in G$  рассмотрим дифференциал

${\mathrm{Ad}}_a=d({\mathrm{Int}}_a{)}_e$$\operatorname {Ad} _{a}=d(\operatorname {Int} _{a})_{e}$ 

внутреннего автоморфизма

${\mathrm{Int}}_a:x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->ax{a}^{-<!--\; -\; -->1}.$$\operatorname {Int} _{a}:x\mapsto axa^{-1}.$ 

Полученное действие $\mathrm{Ad}:<!--\; :\; -->G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}\mathrm{L}(\mathfrak{g})$$\operatorname {Ad} \colon G\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})$  называется присоединённым представлением.

ЗамечанияПравить

• Если $G\subset <!--\; \subset \; -->GL(V)$$G\subset GL(V)$  — линейная группа в пространстве $V$$V$ , то

  ${\mathrm{Ad}}_a<!--\; \; -->X=aX{a}^{-<!--\; -\; -->1},$$\operatorname {Ad} _{a}X=aXa^{-1},$ 

Дифференциалом присоединённого представления группы $G$$G$  в единице служит присоединённое представление её алгебры Ли.

• Образ группы Ли $G$$G$  при присоединённом представлении называется присоединённой группой группы $G$$G$  и обозначается $\mathrm{Ad}<!--\; \; -->G$$\operatorname {Ad} G$ .

СвойстваПравить

• Ядро $\mathrm{Ker}<!--\; \; -->\mathrm{Ad}$$\operatorname {Ker} \operatorname {Ad}$  содержит центр группы $G$$G$ .
  • Более того, в случае, когда $G$$G$  связна и основное поле имеет характеристику $0$$0$ , совпадает с центром.
• Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален.
• Если основное поле имеет характеристику 0 и $G$$G$  связна, то $\mathrm{Ad}<!--\; \; -->G$$\operatorname {Ad} G$  однозначно определяется алгеброй Ли $\mathfrak{g}$$\mathfrak g$  и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли $\mathfrak{g}$$\mathfrak g$ .
  • В частности, если $G$$G$  полупроста, то $\mathrm{Ad}<!--\; \; -->G$$\operatorname {Ad} G$  совпадает со связной компонентой единицы в $\mathrm{Aut}<!--\; \; -->\mathfrak{g}$$\operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}$ .

См. такжеПравить

• Коприсоединённое представление

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Основы теории групп Ли. — М.: ВИНИТИ, 1988. — С. 5—101. — (Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Т. 20).