Идемпотентность

Идемпоте́нтность (лат. idem «тот же самый» + potens «способный») — свойство объекта или операции при повторном применении операции к объекту давать тот же результат, что и при первом. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов.

Примеры идемпотентных операций:

• сложение с нулём: $a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=\dots <!--\; \dots \; -->$$a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=\dots$;
• умножение на единицу: $x=x\ast <!--\; \ast \; -->1=(x\ast <!--\; \ast \; -->1)\ast <!--\; \ast \; -->1=((x\ast <!--\; \ast \; -->1)\ast <!--\; \ast \; -->1)\ast <!--\; \ast \; -->1=\dots <!--\; \dots \; -->$$x=x*1=(x*1)*1=((x*1)*1)*1=\dots$;
• модуль числа: $|x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=\dots <!--\; \dots \; -->$$|x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=\dots$;
• выбор максимального значения: $max(x,y)=max(max(x,y),y)=max(x,max(x,y))$$\max(x,y)=\max(\max(x,y),y)=\max(x,\max(x,y))$;
• вычисление наибольшего общего делителя: $\gcd <!--\; \; -->(x,y)=\gcd <!--\; \; -->(\gcd <!--\; \; -->(x,y),y)=\gcd <!--\; \; -->(x,\gcd <!--\; \; -->(x,y))$$\operatorname {gcd} (x,y)=\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),y)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (x,y))$;
• сложение по модулю 2 с нулём: $a=a\oplus <!--\; \oplus \; -->0=(a\oplus <!--\; \oplus \; -->0)\oplus <!--\; \oplus \; -->0=\dots <!--\; \dots \; -->$$a=a\oplus 0=(a\oplus 0)\oplus 0=\dots$;
• нахождение остатка от деления: $r=a\mathrm{mod}b=(a\mathrm{mod}b)\mathrm{mod}b=\dots <!--\; \dots \; -->$$r=a\mod b=(a\mod b)\mod b=\dots$;
• возведение в степень единицы: $a^1=(a^1{)}^1=((a^1{)}^1{)}^1\dots <!--\; \dots \; -->$$a^{1}=(a^{1})^{1}=((a^{1})^{1})^{1}\dots$.

ЭлементПравить

Идемпотентный элемент (идемпотент) в алгебре — элемент полугруппы, сохраняющийся при умножении самого на себя: $e^2=e$$e^2=e$ . Теорема об идемпотенте гласит: в конечной полугруппе есть идемпотент.

Идемпотентный элемент $e$$e$  содержит идемпотентный элемент $f$$f$  (обозначается $e⩾<!--\; ⩾\; -->f$$e\geqslant f$ ), если $ef=e=fe$$ef=e=fe$ . Отношение $⩾<!--\; ⩾\; -->$$\geqslant$  является отношением частичного порядка в множестве $E$$E$  идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве $E$$E$ .

Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) $u$$u$  и $v$$v$  называются ортогональными, если $uv=0=vu$$u v = 0 = v u$ .

ОперацияПравить

См. также: Идемпотентная матрица

Идемпотентная бинарная операция в математике — операция, относительно которой всякий элемент обладает идемпотентностью в вышеназванном смысле:

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x:x\cdot <!--\; \cdot \; -->x=x$$\forall x:\quad x\cdot x=x$ .

Этим свойством обладают, например, логическое И и логическое ИЛИ.

Идемпотентная унарная операция — операция, для которой выполняется $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x:f(f(x))=f(x)$$\forall x:f(f(x))=f(x)$ , или $f\circ <!--\; \circ \; -->f=f$$f \circ f = f$ .

Из линейных операторов в ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  идемпотентны только тождественный оператор, нулевой оператор и параллельная проекция. Поэтому проектор в алгебре — в том числе в бесконечномерных пространствах — определяется как $P\circ <!--\; \circ \; -->P=P$$P \circ P = P$ .

В информатикеПравить

Идемпотентная операция в информатике — действие, многократное повторение которого эквивалентно однократному.

Примером такой операции могут служить GET-запросы в протоколе HTTP. По спецификации, сервер должен возвращать идентичные ответы на идентичные GET-запросы (при условии, что ресурс не изменился). Это позволяет корректно кэшировать эти ответы, снижая нагрузку на сеть.

Для препроцессора языка Си директива «#include "xxx.h"» является идемпотентной, если в заголовочном файле есть защита от двойного включения.

ЛитератураПравить

• Peirce B. Linear Associative Algebra. 1870.
• Gunawardena, Jeremy (1998), An introduction to idempotency, in Gunawardena, Jeremy, Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994, Cambridge: Cambridge University Press, с. 1–49, <http://www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf> 
• Идемпотентность — статья из Математической энциклопедии. Иванова О. А.