Проектор (математика)

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор $P$$P$, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором) если $P^2=P$$P^{2}=P$. Такой оператор называют идемпотентным.

На этом рисунке преобразование $P$$P$ является ортогональной проекцией на прямую $m$$m$.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор $P:X\to <!--\; \to \; -->X$$P:X\to X$ является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства $U$$U$ и $V$$V$ пространства $X$$X$, что $X$$X$ раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов $u\in <!--\; \in \; -->U,v\in <!--\; \in \; -->V$$u\in U,\ v\in V$ имеем $P(u+v)=u$$P(u+v)=u$. Подпространства $U$$U$ и $V$$V$ — соответственно образ и ядро проектора $P$$P$, и обозначаются $\mathrm{I}\mathrm{m}P$$\mathrm {Im} P$ и $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P$$\mathrm {Ker} P$.

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства $V$$V$ пространства $X$$X$, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с $V$$V$.

Свойства проекционных операторовПравить

• Пусть $I$$I$  — тождественный оператор. Если $P$$P$  — проектор, то $I-<!--\; -\; -->P$$I-P$  тоже проектор, причём $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(I-<!--\; -\; -->P)=\mathrm{I}\mathrm{m}P$${\mathrm {Ker}}{(I-P)}={\mathrm {Im}}{P}$  и $\mathrm{I}\mathrm{m}(I-<!--\; -\; -->P)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P$$\mathrm {Im} {(I-P)}=\mathrm {Ker} P$ .
• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: $X=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}P\oplus <!--\; \oplus \; -->\mathrm{I}\mathrm{m}P$$X={\mathrm {Ker}}P\oplus {\mathrm {Im}}\,P$ .
• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторовПравить

Пусть $P_1$$P_1$  и $P_2$$P_2$  — проекторы, заданные на векторном пространстве $X$$X$ , и проецирующие на подпространства $M_1$$M_{1}$  и $M_2$$M_{2}$  соответственно. Тогда

• $P_1+P_2$$P_{1}+P_{2}$  — проектор на подпространстве $M_1\oplus <!--\; \oplus \; -->M_2$$M_{1}\oplus M_{2}$ , в том и только том случае, когда $P_1{P}_2=P_2{P}_1=0$$P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$ .
• $P_1-<!--\; -\; -->P_2$$P_{1}-P_{2}$  является проектором тогда и только тогда, когда $P_1{P}_2=P_2{P}_1=P_2$$P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}$ . $P_1-<!--\; -\; -->P_2$$P_{1}-P_{2}$  проецирует на подпространство $M_1\cap <!--\; \cap \; -->(X\ominus <!--\; \ominus \; -->M_2)$$M_{1}\cap (X\ominus M_{2})$ .
• Если $P_1{P}_2=P_2{P}_1=P$$P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P$ , то $P$$P$  — проектор на подпространство $M_1\cap <!--\; \cap \; -->M_2$$M_{1}\cap M_{2}$ .

ПримерыПравить

• Ортогональная проекция (см. ниже) точек $(x,y,z)$$(x,y,z)$  пространства $R^3$$R^{3}$  на плоскость $Oxy$$Oxy$  задаётся матрицей

$P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$ 

Действует на точки она следующим образом:

$P\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right)$$P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$ 

 

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.

• Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

$P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.$ 

Легко показать, что это действительно проектор:

$P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.$ 

Проекция, задаваемая $P$$P$ , ортогональна, тогда и только тогда, когда $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0$$\alpha =0$ .

Ортогональный проекторПравить

Если пространство $X$$X$  — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства $U$$U$  и $V$$V$  ортогональны друг другу, иными словами, когда $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}u\in <!--\; \in \; -->U,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}v\in <!--\; \in \; -->V$$\forall u\in U,\forall v\in V$  $(u,v)=0$$(u,v)=0$ , или $u\cdot <!--\; \cdot \; -->v=0$$u\cdot v=0$ , или $u\perp <!--\; \perp \; -->v=0$$u\perp v=0$ . В этом случае проекция элемента $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  является ближайшим к нему элементом пространства $U$$U$ .

ЛитератураПравить

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.