Идемпотентная матрица

Идемпотентная матрица — матрица, идемпотентная относительно умножения матриц, то есть, матрица $P$$P$, для которой выполняется условие $P\cdot <!--\; \cdot \; -->P=P$$P\cdot P=P$.

ПримерыПравить

Примеры идемпотентных матриц:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},$     ${\begin{pmatrix}-26&-18&-27\\21&15&21\\12&8&13\end{pmatrix}}$ 

Вещественные матрицы порядка 2Править

Если матрица ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$  идемпотентна, то

• $a=a^2+bc,$$a=a^{2}+bc,$ 
• $b=ab+bd,$$b=ab+bd,$  откуда $b(1-<!--\; -\; -->a-<!--\; -\; -->d)=0$$b(1-a-d)=0$ , поэтому либо $b=0$$b=0$ , либо $d=1-<!--\; -\; -->a,$$d=1-a,$ 
• $c=ca+cd,$$c=ca+cd,$  откуда $c(1-<!--\; -\; -->a-<!--\; -\; -->d)=0$$c(1-a-d)=0$ , поэтому либо $c=0$$c=0$ , либо $d=1-<!--\; -\; -->a,$$d=1-a,$ 
• $d=bc+d^2.$$d=bc+d^{2}.$ 

Таким образом, необходимым условием идемпотентности матрицы порядка 2 является её диагональность либо равенство её следа единице. У диагональных идемпотентных матриц $a$$a$  и $d$$d$  могут равняться только нулю или единице.

При $b=c$$b=c$  матрица ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$  будет идемпотентной при $a^2+b^2=a$$a^{2}+b^{2}=a$ , то есть если $a$$a$  является решением квадратного уравнения

$a^2-<!--\; -\; -->a+b^2=0$$a^{2}-a+b^{2}=0$  или ${\left(a-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\right)}^2+b^2=\frac{1}{4},$$\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}},$ 

которое представляет собой уравнение окружности радиуса 1/2 с центром в точке (1/2, 0).

Однако, равенство $b=c$$b=c$  не является необходимым условием: любая матрица вида

${\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}$  при $a^2+bc=a$$a^{2}+bc=a$  будет идемпотентной.

СвойстваПравить

Если матрица $A$$A$  идемпотентна, то матрица $I-<!--\; -\; -->A$$I-A$  также идемпотентна, так как

$(I-<!--\; -\; -->A)(I-<!--\; -\; -->A)=I-<!--\; -\; -->A-<!--\; -\; -->A+A^2=I-<!--\; -\; -->A-<!--\; -\; -->A+A=I-<!--\; -\; -->A.$$(I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A.$ 

Используя метод математической индукции, нетрудно показать, что если матрица $A$$A$  идемпотентна, то для любого натурального $n$$n$  выполняется $A^n=A$$A^{n}=A$ .

Если матрица $P$$P$  идемпотентна, то матрица $I=2P-<!--\; -\; -->E$$I=2P-E$  инволютивна, и, наоборот, если матрица $I$$I$  инволютивна, то матрица $P=\frac{1}{2}(I+E)$$P={\frac {1}{2}}(I+E)$  идемпотентна.

ОбратимостьПравить

Единственная невырожденная идемпотентная матрица — единичная. В самом деле, пусть для идемпотентной матрицы $A$$A$  существует $A^{-<!--\; -\; -->1}$$A^{{-1}}$ . Тогда $A=A^{-<!--\; -\; -->1}{A}^2=A^{-<!--\; -\; -->1}A=I$$A=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$ .

Собственные значенияПравить

Любая идемпотентная матрица всегда диагонализуема и её собственные числа равны нулю и единице.

СледПравить

След идемпотентной матрицы равен её рангу. Это позволяет вычислять след матрицы, элементы которой не заданы в явном виде, что бывает полезно, например, в статистике при установлении степени отклонения выборочной дисперсии от теоретической дисперсии.

ПриложенияПравить

Линейная регрессияПравить

При решении задачи линейной регрессии методом наименьших квадратов необходимо найти оценивающий вектор $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , минимизирующий сумму квадратов отклонений $e_i$$e_{i}$ , которая в матричной форме записывается как

$e^{\mathrm{T}}e=(y-<!--\; -\; -->X\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^{\mathrm{T}}(y-<!--\; -\; -->X\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}),$$e^{\mathrm {T} }e=(y-X\beta )^{\mathrm {T} }(y-X\beta ),$ 

где $y$$y$  — вектор наблюдений зависимой переменной, $X$$X$  — матрица, столбцы которой представляют собой наблюдения независимых переменных. Решением является вектор

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}={\left(X^{\mathrm{T}}X\right)}^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\mathrm{T}}y,$${\hat {\beta }}=\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }y,$ 

а соответствующий вектор отклонений равен

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}=y-<!--\; -\; -->X\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=y-<!--\; -\; -->X{\left(X^{\mathrm{T}}X\right)}^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\mathrm{T}}y=\left[I-<!--\; -\; -->X{\left(X^{\mathrm{T}}X\right)}^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\mathrm{T}}\right]y=My.$${\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }y=\left[I-X\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }\right]y=My.$ 

Здесь $M$$M$  и $X{\left(X^{\mathrm{T}}X\right)}^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\mathrm{T}}$$X\left(X^{\mathrm {T} }X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }$  — идемпотентные и симметричные матрицы, что позволяет упростить вычисление суммы квадратов отклонений:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}}^{\mathrm{T}}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{e}=(My{)}^{\mathrm{T}}(My)=y^{\mathrm{T}}{M}^{\mathrm{T}}My=y^{\mathrm{T}}MMy=y^{\mathrm{T}}My.$${\hat {e}}^{\mathrm {T} }{\hat {e}}=(My)^{\mathrm {T} }(My)=y^{\mathrm {T} }M^{\mathrm {T} }My=y^{\mathrm {T} }MMy=y^{\mathrm {T} }My.$ 

Идемпотентность $M$$M$  также используется при других вычислениях, например, при определении дисперсии оценивающего вектора $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$${\hat {\beta }}$ .

Пусть $X_1$$X_{1}$  — матрица, полученная из $X$$X$  удалением некоторых столбцов, и пусть $M_1=I-<!--\; -\; -->X_1(X_1^{\prime }{X}_1{)}^{-<!--\; -\; -->1}{X}_1^{\prime }$$M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$ . Нетрудно убедиться, что и $M$$M$ , и $M_1$$M_{1}$  идемпотентны и, более того, $M{M}_1=M$$MM_{1}=M$ . Это следует из того, что $M{X}_1=0$$MX_{1}=0$  или, иными словами, отклонения при регрессии столбцов $X_1$$X_{1}$  на $X$$X$  равны нулю, так как $X_1$$X_{1}$  может быть идеально проинтерполирован как подмножество $X$$X$  (прямой подстановкой можно также легко показать, что $MX=0$$MX=0$ ). Отсюда следует, что матрица $(M_1-<!--\; -\; -->M)$$(M_{1}-M)$  симметрична и идемпотентна и что $(M_1-<!--\; -\; -->M)M=0$$(M_{1}-M)M=0$ , то есть $(M_1-<!--\; -\; -->M)$$(M_{1}-M)$  ортогональна $M$$M$ . Эти результаты играют ключевую роль, например, при выводе F-теста.

Оператор проекцииПравить

Идемпотентный линейный оператор $P$$P$  является оператором проекции на образ $R(P)$$R(P)$  вдоль ядра $N(P)$$N(P)$ . Оператор $P$$P$  выполняет ортогональную проекцию тогда и только тогда, когда он идемпотентен и симметричен.

См. такжеПравить

• Нильпотентная матрица

ЛитератураПравить

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975. — 400 с.
• Horn, R. A., Johnson, C. R. Matrix analysis (англ.). — Cambridge University Press, 1990. — ISBN 0521386322.
• Greene, W. H. Econometric Analysis (англ.). — 5th edition. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2003. — ISBN 0130661899.