Дзета-функция Гурвица

Для термина «Гурвиц» см. также другие значения.

В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,q)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{(q+n{)}^s}.$$\zeta (s,q)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{{s}}}}.$

Этот ряд является абсолютно сходящимся для заданных значений s и q. Дзета-функция Римана — это частный случай дзета-функции Гурвица при q=1.

Аналитическое продолжениеПравить

Дзета функция Гурвица допускает аналитическое продолжение до мероморфной функции, определённой для всех комплексных s, при s ≠ 1. В точке s = 1 она имеет простой полюс с вычетом равным 1. Постоянный член разложения в ряд Лорана в окрестности точки s = 1 равен:

$\underset{s\to <!--\; \to \; -->1}{lim}\left[\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,q)-<!--\; -\; -->\frac{1}{s-<!--\; -\; -->1}\right]=\frac{-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }(q)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(q)}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(q)$$\lim _{{s\to 1}}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)$ ,

где Γ(x) — это гамма-функция, и ψ(x) — это дигамма-функция.

Представления в виде рядовПравить

Представление в виде сходящегося степенного ряда для q > −1 и произвольного комплексного s ≠ 1 было получено в 1930 году Гельмутом Хассе

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,q)=\frac{1}{s-<!--\; -\; -->1}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n+1}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-<!--\; -\; -->s}.$$\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{{k=0}}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{{1-s}}.$ 

Этот ряд равномерно сходится на любом компактном подмножестве комплексной s-плоскости к целой функции. Внутренняя сумма может быть представлена в виде n-ой конечной разности для $q^{1-<!--\; -\; -->s}$$q^{{1-s}}$ , то есть:

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^n{q}^{1-<!--\; -\; -->s}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-<!--\; -\; -->s}$$\Delta ^{n}q^{{1-s}}=\sum _{{k=0}}^{n}(-1)^{{n-k}}{n \choose k}(q+k)^{{1-s}}$ 

где Δ — оператор конечной разности. Таким образом

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,q)=\frac{1}{s-<!--\; -\; -->1}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{n+1}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^n{q}^{1-<!--\; -\; -->s}$$\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{{1-s}}$ 

$=\frac{1}{s-<!--\; -\; -->1}\frac{\log <!--\; \; -->(1+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}{q}^{1-<!--\; -\; -->s}.$$={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{{1-s}}.$ 

Интегральные представленияПравить

Дзета-функция Гурвица имеет интегральное представление в виде преобразования Меллина:

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(s)}{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{t^{s-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->qt}}{1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->t}}dt$$\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{{s-1}}e^{{-qt}}}{1-e^{{-t}}}}dt$ 

для Re(s)>1 и Re(q) >0.

Формула ГурвицаПравить

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(1-<!--\; -\; -->s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s/2}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x;s)+e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s/2}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(1-<!--\; -\; -->x;s)\right]$$\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{{-i\pi s/2}}\beta (x;s)+e^{{i\pi s/2}}\beta (1-x;s)\right]$ ,

где

$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x;s)=2\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(s+1)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\exp <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}inx)}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n{)}^s}=\frac{2\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(s+1)}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^s}{\text{Li}}_s(e^{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ix})$$\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{{2\pi ix}})$ .

Это представление дзета-функции Гурвица верно для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Здесь ${\text{Li}}_s(z)$${\text{Li}}_{s}(z)$  — это полилогарифм.

Функциональное уравнениеПравить

Данное функциональное уравнение связывает значения дзета-функции Гурвицa слева и справа от прямой Re(s)=1/2 в комплексной s-плоскости. Для натуральных m и n, таких что m ≤ n:

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->s,\frac{m}{n}\right)=\frac{2\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(s)}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n{)}^s}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[cos\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s}{2}-<!--\; -\; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}km}{n}\right)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(s,\frac{k}{n}\right)\right]$$\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{{k=1}}^{n}\left[cos\left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]$ 

верно для всех значений s.

Ряд ТейлораПравить

Производная дзета-функции Гурвица по второму аргументу также выражается через дзета-функцию Гурвица:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q}\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,q)=-<!--\; -\; -->s\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s+1,q).$${\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).$ 

Таким образом ряд Тейлора имеет вид:

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,x+y)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{y^k}{k!}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^k}\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,x)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+k-<!--\; -\; -->1}{s-<!--\; -\; -->1})(-<!--\; -\; -->y{)}^k\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s+k,x).$$\zeta (s,x+y)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).$ 

Ряд ЛоранаПравить

Разложение дзета-функции Гурвица в ряд Лорана может быть использовано для определения констант Стильтьеса^[en], которые появляются в разложении:

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,q)=\frac{1}{s-<!--\; -\; -->1}+\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{n!}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n(q)(s-<!--\; -\; -->1{)}^n.$$\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.$ 

Преобразование ФурьеПравить

Дискретное преобразование Фурье по переменной s дзета-функции Гурвица является хи-функцией Лежандра

Связь с многочленами БернуллиПравить

Определённая выше функция $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x;n)$$\beta (x;n)$  обобщает многочлены Бернулли:

$B_n(x)=-<!--\; -\; -->Re\left[(-<!--\; -\; -->i{)}^n\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x;n)\right]$$B_{n}(x)=-Re\left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]$ .

С другой стороны,

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(-<!--\; -\; -->n,x)=-<!--\; -\; -->\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.$$\zeta (-n,x)=-{B_{{n+1}}(x) \over n+1}.$ 

В частности, при $n=0$$n=0$ :

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(0,x)=\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->x.$$\zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.$ 

Связь с тета-функцией ЯкобиПравить

Если $\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}(z,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$\vartheta (z,\tau )$  — это тета-функция Якоби, тогда

${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\left[\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}(z,it)-<!--\; -\; -->1\right]t^{s/2}\frac{dt}{t}={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->(1-<!--\; -\; -->s)/2}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{1-<!--\; -\; -->s}{2}\right)\left[\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(1-<!--\; -\; -->s,z)+\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(1-<!--\; -\; -->s,1-<!--\; -\; -->z)\right]$$\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{{-(1-s)/2}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]$ .

Эта формула верна для Re(s) > 0 и любого комплексного z, не являющегося целым числом. Для целого z=n формула упрощается:

${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\left[\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}(n,it)-<!--\; -\; -->1\right]t^{s/2}\frac{dt}{t}=2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->(1-<!--\; -\; -->s)/2}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{1-<!--\; -\; -->s}{2}\right)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(1-<!--\; -\; -->s)=2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->s/2}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{s}{2}\right)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)$$\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{{-(1-s)/2}}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{{-s/2}}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$ .

где ζ(s) — дзета-функция Римана. Последнее выражение является функциональным уравнением для дзета-функция Римана.

Связь с L-функцией ДирихлеПравить

При рациональных значениях аргумента дзета-функция Гурвица может быть представлена в виде линейной комбинации L-функций Дирихле и наоборот. Если q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 и 0 < n < k, тогда

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,n/k)=\underset{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}(n)L(s,\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}),$$\zeta (s,n/k)=\sum _{\chi }\overline {\chi }(n)L(s,\chi ),$ 

при этом суммирование ведётся по всем характерам Дирихле по модулю k. И обратно

$L(s,\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})=\frac{1}{k^s}\underset{n=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(n)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(s,\frac{n}{k}\right).$$L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{{n=1}}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right).$ 

в частности верно следующее представление:

$k^s\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)=\underset{n=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(s,\frac{n}{k}\right),$$k^{s}\zeta (s)=\sum _{{n=1}}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),$ 

обобщающее

$\underset{p=0}{\overset{q-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,a+p/q)=q^s\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,qa).$$\sum _{{p=0}}^{{q-1}}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).$  (Верно при натуральном q и ненатуральном 1 − qa.)

Рациональные значения аргументовПравить

Дзета-функция Гурвица встречается в различных интересных соотношениях для рациональных значений аргументов. В частности, для многочленов Эйлера $E_n(x)$$E_{n}(x)$ :

$E_{2n-<!--\; -\; -->1}\left(\frac{p}{q}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{4(2n-<!--\; -\; -->1)!}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}q{)}^{2n}}\underset{k=1}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(2n,\frac{2k-<!--\; -\; -->1}{2q}\right)\cos <!--\; \; -->\frac{(2k-<!--\; -\; -->1)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}p}{q}$$E_{{2n-1}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{{2n}}}}\sum _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}$ 

и

$E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{4(2n)!}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}q{)}^{2n+1}}\underset{k=1}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(2n+1,\frac{2k-<!--\; -\; -->1}{2q}\right)\sin <!--\; \; -->\frac{(2k-<!--\; -\; -->1)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}p}{q}$$E_{{2n}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{{2n+1}}}}\sum _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}$ ,

Кроме того

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\left(s,\frac{2p-<!--\; -\; -->1}{2q}\right)=2(2q{)}^{s-<!--\; -\; -->1}\underset{k=1}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[C_s\left(\frac{k}{q}\right)\cos <!--\; \; -->\left(\frac{(2p-<!--\; -\; -->1)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k}{q}\right)+S_s\left(\frac{k}{q}\right)\sin <!--\; \; -->\left(\frac{(2p-<!--\; -\; -->1)\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k}{q}\right)\right]$$\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{{s-1}}\sum _{{k=1}}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]$ ,

верное для $1\le <!--\; \le \; -->p\le <!--\; \le \; -->q$$1\leq p\leq q$ . Здесь $C_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)$$C_{\nu }(x)$  и $S_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)$$S_{\nu }(x)$  выражаются через хи-функциию Лежандра ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$$\chi _{\nu }$  как

$C_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)=\mathrm{Re}{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(e^{ix})$$C_{\nu }(x)=\operatorname {Re}\,\chi _{\nu }(e^{{ix}})$ 

и

$S_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(x)=\mathrm{Im}{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(e^{ix}).$$S_{\nu }(x)=\operatorname {Im}\,\chi _{\nu }(e^{{ix}}).$ 

ПриложенияПравить

Дзета-функция Гурвица возникает в различных разделах математики. Чаще всего встречается в теории чисел, где её теория является наиболее развитой. Также дзета-функция Гурвица встречается в теории фракталов и динамических систем. Дзета-функция Гурвица применяется в математической статистике, возникает в законе Ципфа. В физике элементарных частиц возникает в формуле Швингера, дающей точный результат для показателя рождения пар в уравнении Дирака для стационарного электромагнитного поля.

Частные случаи и обобщенияПравить

Дзета-функция Гурвица связана с полигамма-функцией:

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{(m)}(z)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{m+1}m!\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(m+1,z).$$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$ 

Дзета-функция Лерха обобщает дзета-функцию Гурвица:

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z,s,q)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{z^k}{(k+q{)}^s}$$\Phi (z,s,q)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}$ 

то есть

$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s,q)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(1,s,q).$$\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).$ 

ЛитератураПравить

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4.
• Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201—206.
• Linas Vepstas, The Bernoulli Operator, the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator, and the Riemann Zeta
• Istvan Mezo and Ayhan Dil, Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function (недоступная ссылка), Journal of Number Theory, (2010) 130, 2, 360—369.

СсылкиПравить

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. Hurwitz Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.