Хи-функция Лежандра

Хи-функция Лежандра — это специальная функция, названная по имени французского математика Адриен Мари Лежандра. Хи-функция Лежандра определяется рядом Тейлора также являющимся рядом Дирихле:

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(z)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1{)}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}.$$\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.$

Таким образом Хи-функция Лежандра тривиально выражается через полилогарифм:

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}(z)=\frac{1}{2}\left[{\mathrm{Li}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}<!--\; \; -->(z)-<!--\; -\; -->{\mathrm{Li}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}<!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->z)\right]$$\chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]$

Хи-функция Лежандра возникает в дискретном преобразовании Фурье, по индексу ν дзета-функции Гурвица, а также многочленов Эйлера.

Хи-функция Лежандра является частным случаем дзета-функции Лерха^[en]:

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_n(z)=2^{-<!--\; -\; -->n}z\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(z^2,n,1/2).$$\chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,1/2).$

Литература Править

• Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments (англ.) // Math. Comp.. — 1999. — No. 68. — P. 1623-1630.
• Djurdje Cvijović. "Integral representations of the Legendre chi function" (англ.) // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2006. — Vol. 2, no. 332. — P. 1056-1062. — ISSN 0022247X.

Ссылки Править

• Weisstein, Eric W. Legendre's Chi Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.