L-функция Дирихле

L-функция Дирихле $L_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}(s)$$L_{{\chi }}(s)$ — комплексная функция, заданная при $\mathrm{Re}s>0$$\operatorname {Re}\,s>0$ (при $\mathrm{Re}s>1$$\operatorname {Re}\,s>1$ в случае главного характера) формулой

$L_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}(s)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(n)}{n^s}$$L_{{\chi }}(s)=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$,

где $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(n)$$\chi (n)$ — некоторый числовой характер (по модулю k). $L$$L$-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства $L_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}(1)\ne <!--\; \ne \; -->0$$L_{\chi }(1)\neq 0$ для неглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функций ДирихлеПравить

В силу мультипликативности числового характера $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}$$\chi$  $L$$L$ -функция Дирихле представима в области $\mathrm{Re}s>1$$\operatorname {Re}\,s>1$  в виде эйлерова произведения по простым числам:

$L_{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}(s)=\underset{p}{\prod <!--\; \prod \; -->}{\left(1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(p)}{p^s}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}$$L_{{\chi }}(s)=\prod _{{p}}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1}}$ .

Эта формула обуславливает многочисленные применения $L$$L$ -функций в теории простых чисел.

Связь с дзета-функциейПравить

$L$$L$ -функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)$$\zeta (s)$  формулой

$L_{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_0}(s)=\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)\underset{p|k}{\prod <!--\; \prod \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{1}{p^s}\right)$$L_{{\chi _{0}}}(s)=\zeta (s)\prod _{{p|k}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$ .

Эта формула позволяет доопределить $L_{{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_0}(s)$$L_{{\chi _{0}}}(s)$  для области $Re(s)>0$$Re(s)>0$  c простым полюсом в точке $s=1$$s=1$ .

Функциональное уравнениеПравить

Аналогично функции Римана, $L$$L$ -функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению.

Определим $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->},s)$$\Lambda (\chi ,s)$  следующим образом: если $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — гамма-функция, $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(-<!--\; -\; -->1)=1$$\chi (-1)=1$  — чётный характер, то

$\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->},s)={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->s/2}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(s/2)L(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->},s)$$\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi ,s)$ 

Если $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(-<!--\; -\; -->1)=-<!--\; -\; -->1$$\chi (-1)=-1$  — нечётный характер, то

$\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->},s)={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->(s+1)/2}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}((s+1)/2)L(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->},s)$$\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)$ 

Пусть также $g(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})=\underset{k=1}{\overset{q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(k)\exp <!--\; \; -->\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ik}{q}$$g(\chi )=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q}}$  — сумма Гаусса характера $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}$$\chi$ , а $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})=\frac{g(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})}{\sqrt{q}}$$\varepsilon (\chi )={\frac {g(\chi )}{\sqrt {q}}}$  для чётного $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}$$\chi$  и $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})=-<!--\; -\; -->i\frac{g(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})}{\sqrt{q}}$$\varepsilon (\chi )=-i{\frac {g(\chi )}{\sqrt {q}}}$  для нечётного $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}$$\chi$ . Тогда функциональное уравнение принимает вид:

$\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->},s)=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})q^{1/2-<!--\; -\; -->s}\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}},1-<!--\; -\; -->s)$$\Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi }},1-s)$ 

См. такжеПравить

• Ряд Дирихле

ЛитератураПравить

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.