Теория гомологий

Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

В простейшем случае топологическому пространству $X$$X$ сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий $H_k(X)$$H_{k}(X)$, занумерованных натуральными числами $k$$k$. Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации.

Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию, и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.

Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии $H_k(X,A)$$H_{k}(X,A)$ с коэффициентами в абелевой группе $A$$A$, относительные гомологии $H_k(X,Y)$$H_{k}(X,Y)$ пары пространств $X\supset <!--\; \supset \; -->Y$$X\supset Y$ и когомологии $H^k(X)$$H^{k}(X)$, определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения $H^k(X)\otimes <!--\; \otimes \; -->H^l(X)\to <!--\; \to \; -->H^{k+l}(X)$$H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)$, превращающего их в градуированную алгебру.

Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.

Общее определениеПравить

Напомним, что $k$$k$ -тая гомотопическая группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_k(X)$$\pi _{k}(X)$  пространства $X$$X$  — это множество отображений из $k$$k$ -мерной сферы в $X$$X$ , рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий $H_k(X)$$H_{k}(X)$  отображения сфер заменяют на $k$$k$ -циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности $k$$k$  внутри $X$$X$ , но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.

В стандартных обозначениях группа $k$$k$ -циклов — $Z_k(X)$$Z_{k}(X)$  (от нем. Zyklus — «цикл»), группа $k$$k$ -границ — $B_k(X)$$B_{k}(X)$  (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как

$H_k(X)=Z_k(X)/B_k(X)$$H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)$ .

Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности $k>2$$k>2$  приводит к некоторым трудностям. Решением является определение промежуточного понятия группы $k$$k$ -цепей $C_k(X)$$C_{k}(X)$ , состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в $X$$X$  неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k:C_k(X)\to <!--\; \to \; -->C_{k-<!--\; -\; -->1}(X)$$\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)$ . Тогда $k$$k$ -циклы определяются как $k$$k$ -цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:

$Z_k(X)=Ker({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k:C_k(X)\to <!--\; \to \; -->C_{k-<!--\; -\; -->1}(X)),B_k(X)=Im({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{k+1}:C_{k+1}(X)\to <!--\; \to \; -->C_k(X))$$Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X)=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\to C_{k}(X))$ .

Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса: ${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{k+1}\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_k=0$$\partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0$ , а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.

Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.

Гомологические теорииПравить

• Симплициальные гомологии — гомологии определяются для очень простых пространств (симплициальных комплексов).

Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

• Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.

• Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.

Гомологии с коэффициентами в произвольных группахПравить

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы $G$$G$ . То есть, вместо групп $C_k(X)$$C_{k}(X)$  рассматривать группы $C_k(X)\otimes <!--\; \otimes \; -->G$$C_{k}(X)\otimes G$ .

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства $X$$X$  с коэффициентами в группе $G$$G$  обозначаются $H_k(X;G).$$H_{k}(X;G).$  Обычно применяют группу действительных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ , или циклическую группу вычетов по модулю $m$$m$  — ${\mathbb{Z}}_m$$\mathbb {Z} _{m}$ , причём обычно берётся $m=p$$m=p$  — простое число, тогда ${\mathbb{Z}}_p$$\mathbb {Z} _{p}$  является полем.

Другое описание. Применяя к комплексу $C_{\ast <!--\; \ast \; -->}(X)$$C_{*}(X)$ 

$\dots <!--\; \dots \; -->\stackrel{}{\leftarrow }{C}_{n-<!--\; -\; -->1}(X)\stackrel{}{\leftarrow }{C}_n(X)\stackrel{}{\leftarrow }{C}_{n+1}(X)\stackrel{}{\leftarrow }\dots <!--\; \dots \; -->$$\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\xleftarrow {}}\ldots$ 

функтор $\cdot <!--\; \cdot \; -->\otimes <!--\; \otimes \; -->G$$\cdot \otimes G$ , мы получим комплекс

$\dots <!--\; \dots \; -->\stackrel{}{\leftarrow }{C}_{n-<!--\; -\; -->1}(X)\otimes <!--\; \otimes \; -->G\stackrel{}{\leftarrow }{C}_n(X)\otimes <!--\; \otimes \; -->G\stackrel{}{\leftarrow }{C}_{n+1}(X)\otimes <!--\; \otimes \; -->G\stackrel{}{\leftarrow }\dots <!--\; \dots \; -->$$\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}\ldots$ ,

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в $G$$G$ .

КогомологииПравить

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу $G$$G$ . То есть, пространство коцепей $C^k(X)=\mathrm{Hom}<!--\; \; -->(C_k(X),G)$$C^{k}(X)=\operatorname {Hom} (C_{k}(X),G)$ .

Граничный оператор ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^k:C^k\to <!--\; \to \; -->C^{k+1}$$\delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1}$  определяется по формуле: $({\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$$(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$  (где $x\in <!--\; \in \; -->C^k,c\in <!--\; \in \; -->C_{k+1}$$x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}$ ). Для такого граничного оператора также выполняется

${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{k+1}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^k=0$$\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0$ , а именно

$({\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{k+1}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^k(x))(c)={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}{d}_{k+2}c)=x(0)=0$$(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0$ .

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов $Z^k(X,G)=\mathrm{Ker}<!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^k$$Z^{k}(X,G)=\operatorname {Ker} \delta ^{k}$ , кограниц $B^k(X,G)=\mathrm{Im}<!--\; \; -->{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{k-<!--\; -\; -->1}$$B^{k}(X,G)=\operatorname {Im} \delta ^{k-1}$  и когомологий $H^k(X,G)=Z^k(X,G)/B^k(X,G)$$H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)$ .

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если $G$$G$  — кольцо, то в группе когомологий $H^{\ast <!--\; \ast \; -->}(X,G)$$H^{*}(X,G)$  определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или $\cup <!--\; \cup \; -->$$\cup$ -произведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.

В случае, когда $X$$X$  — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий $H^{\ast <!--\; \ast \; -->}(X,\mathbb{R})$$H^{*}(X,\mathbb {R} )$  может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на $X$$X$  (см. Теорема де Рама).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Относительные гомологии и точная гомологическая последовательностьПравить

Возьмём случай двух топологических пространств $Y\subset <!--\; \subset \; -->X$$Y\subset X$ . Группа цепей $C_k(Y)\subset <!--\; \subset \; -->C_k(X)$$C_{k}(Y)\subset C_{k}(X)$  (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе $G$$G$ ). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы $C_k(X,Y)=C_k(X)/C_k(Y)$$C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ . Так как граничный оператор $d$$d$  на группе гомологий подпространства $Y$$Y$  переводит $d_k:<!--\; :\; -->C_k(Y)\to <!--\; \to \; -->C_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$d_{k}\colon C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)$ , то можно определить на факторгруппе $C_k(X,Y)$$C_{k}(X,Y)$  граничный оператор (мы его обозначим так же) $d_k:<!--\; :\; -->C_k(X,Y)\to <!--\; \to \; -->C_{k-<!--\; -\; -->1}(X,Y)$$d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)$ .

Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в $0$$0$  будут называться относительными циклами $Z_k(X,Y)$$Z_{k}(X,Y)$ , а цепи, которые являются его значениями — относительными границами $B_k(X,Y)$$B_{k}(X,Y)$ . Так как $dd=0$$dd=0$  на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда $B_k(X,Y)\subset <!--\; \subset \; -->Z_k(X,Y)$$B_{k}(X,Y)\subset Z_{k}(X,Y)$ . Факторгруппа $H_k(X,Y)=Z_k(X,Y)/B_k(X,Y)$$H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)$  называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в $H_k(X)$$H_{k}(X)$  является также и относительным то имеем гомоморфизм $j_k:H_k(X)\to <!--\; \to \; -->H_k(X,Y)$$j_{k}:H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)$  По функториальному свойству вложение $i_k:Y\to <!--\; \to \; -->X$$i_{k}:Y\to X$  приводит к гомоморфизму $i_{\ast <!--\; \ast \; -->}:H_k(Y)\to <!--\; \to \; -->H_k(X)$$i_{*}:H_{k}(Y)\to H_{k}(X)$ .

В свою очередь можно построить гомоморфизм $d_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:H_k(X,Y)\to <!--\; \to \; -->H_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$d_{*k}:H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ , который мы определим следующим образом. Пусть $c_k\in <!--\; \in \; -->C_k(X,Y)$$c_{k}\in C_{k}(X,Y)$  — относительная цепь, которая определяет цикл из $H_k(X,Y)$$H_{k}(X,Y)$ . Рассмотрим её как абсолютную цепь в $C_k(X)$$C_{k}(X)$  (с точностью до элементов $C_k(Y)$$C_{k}(Y)$ ). Так как это относительный цикл, то $d_{k}c$$d_{k}c$  будет равен нулю с точностью до некоторой цепи $c_{k-<!--\; -\; -->1}\in <!--\; \in \; -->C_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)$ . Положим $d_{\ast <!--\; \ast \; -->k}$$d_{*k}$  равным классу гомологий цепи $c_{k-<!--\; -\; -->1}=d_{k}c\in <!--\; \in \; -->Z_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)$ .

Если мы возьмём другую абсолютную цепь $c_k^{\prime }\in <!--\; \in \; -->C_k(X)$$c'_{k}\in C_{k}(X)$ , определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь $c=c^{\prime }+u$$c=c'+u$ , где $u\in <!--\; \in \; -->C_k(Y)$$u\in C_{k}(Y)$ . Имеем $d_{k}c=d_k{c}^{\prime }+d_{k}u$$d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u$ , но так как $d_{k}u$$d_{k}u$  является границей в $Z_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$Z_{k-1}(Y)$  то $d_{k}c$$d_{k}c$  и $d_k{c}^{\prime }$$d_{k}c'$  определяют один и тот же элемент в группе гомологий $H_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$H_{k-1}(Y)$ . Если взять другой относительный цикл $c^{″}$$c''$ , дающий тот же элемент в группе относительных гомологий $c=c^{″}+b$$c=c''+b$ , где $b$$b$  — относительная граница, то в силу того, что $b$$b$  граница для относительных гомологий $b=d_{k+1}x+v$$b=d_{k+1}x+v$ , где $v\in <!--\; \in \; -->C_k(Y)$$v\in C_{k}(Y)$  , отсюда $d_{k}c=d_k{c}^{″}+d_k{d}_{k+1}x+d_{k}v$$d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v$ , но $dd=0$$dd=0$ , а $d_{k}v$$d_{k}v$  — граница в $Z_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$Z_{k-1}(Y)$ .

Поэтому класс гомологий $d_{\ast <!--\; \ast \; -->k}{c}_k$$d_{*k}c_{k}$  определен однозначно. Ясно по линейности оператора $d_{\ast <!--\; \ast \; -->k}$$d_{*k}$ , что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

$i_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H_k(Y)\to <!--\; \to \; -->H_k(X)$$i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)$ ;

$j_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H_k(X)\to <!--\; \to \; -->H_k(X,Y)$$j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)$  и

$d_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H_k(X,Y)\to <!--\; \to \; -->H_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ ;

$...\to <!--\; \to \; -->H_k(Y)\to <!--\; \to \; -->H_k(X)\to <!--\; \to \; -->H_k(X,Y)\to <!--\; \to \; -->H_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)\to <!--\; \to \; -->...$$...\to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to ...$ 

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Аксиомы Стинрода — ЭйленбергаПравить

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар $D$$D$  топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Если $(X,Y)\in <!--\; \in \; -->D,$$(X,Y)\in D,$  то $(X,X)\in <!--\; \in \; -->D,$$(X,X)\in D,$  $(X,\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})\in <!--\; \in \; -->D,$$(X,\varnothing )\in D,$  $(Y,Y)\in <!--\; \in \; -->D$$(Y,Y)\in D$  и $(Y,\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})\in <!--\; \in \; -->D$$(Y,\varnothing )\in D$ .
2. Если $(X,Y)\in <!--\; \in \; -->D$$(X,Y)\in D$ , то и $(X\times <!--\; \times \; -->I,Y\times <!--\; \times \; -->I)\in <!--\; \in \; -->D$$(X\times I,Y\times I)\in D$ , где $I$$I$  — замкнутый интервал [0,1].
3. $(\ast <!--\; \ast \; -->,\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})\in <!--\; \in \; -->D$$(*,\varnothing )\in D$ , где $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$  — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа $H_k(X,Y)$$H_{k}(X,Y)$  и непрерывному отображению пар $f:<!--\; :\; -->(X,Y)\to <!--\; \to \; -->(X^{\prime },Y^{\prime })$$f\colon (X,Y)\to (X',Y')$  соответствует гомоморфизм $f_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H_k(X,Y)\to <!--\; \to \; -->H_k(X^{\prime },Y^{\prime })$$f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')$  (Пространство $X$$X$  отождествляется с парой $(X,\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})$$(X,\varnothing )$ ), а $H_k(X)$$H_{k}(X)$  с $H_k(X,\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})$$H_{k}(X,\varnothing )$ ), причём выполняются следующие аксиомы:

1. Тождественному отображению пары $id$$id$  соответствует тождественный гомоморфизм $i{d}_{\ast <!--\; \ast \; -->k}$$id_{*k}$ .
2. $(gf{)}_{\ast <!--\; \ast \; -->k}=g_{\ast <!--\; \ast \; -->k}{f}_{\ast <!--\; \ast \; -->k}$$(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}$  (функториальность)
3. Определен граничный гомоморфизм $d_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H_k(X,Y)\to <!--\; \to \; -->H_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ , причём если $f:<!--\; :\; -->(X,Y)\to <!--\; \to \; -->(X^{\prime },Y^{\prime })$$f\colon (X,Y)\to (X',Y')$ , то для соответствующего гомоморфизма $f_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H_k(X,Y)\to <!--\; \to \; -->H_k(X^{\prime },Y^{\prime })$$f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')$  верно $d_{\ast <!--\; \ast \; -->k}{f}_{\ast <!--\; \ast \; -->k}=f_{\ast <!--\; \ast \; -->k-<!--\; -\; -->1}{d}_{\ast <!--\; \ast \; -->k}$$d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}$  для любой размерности $k$$k$ .
4. Пусть $i:<!--\; :\; -->Y\to <!--\; \to \; -->X$$i\colon Y\to X$  и $j:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->(X,Y)$$j\colon X\to (X,Y)$  — вложения, $i_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H_k(Y)\to <!--\; \to \; -->H_k(X)$$i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)$  и $j_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H_k(X)\to <!--\; \to \; -->H_k(X,Y)$$j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)$  — соответствующие гомоморфизмы, $d_{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H_k(X,Y)\to <!--\; \to \; -->H_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)$$d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$  — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
   $\dots <!--\; \dots \; -->\to <!--\; \to \; -->H_k(Y)\to <!--\; \to \; -->H_k(X)\to <!--\; \to \; -->H_k(X,Y)\to <!--\; \to \; -->H_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)\to <!--\; \to \; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$\ldots \to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to \ldots$ 
   точна (аксиома точности).
5. Если отображения $f,g:<!--\; :\; -->(X,Y)\to <!--\; \to \; -->(X^{\prime },Y^{\prime })$$f,g\colon (X,Y)\to (X',Y')$  гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны $f_{\ast <!--\; \ast \; -->k}=g_{\ast <!--\; \ast \; -->k}$$f_{*k}=g_{*k}$  для любой размерности $k$$k$  (аксиома гомотопической инвариантности).
6. Пусть $U\subset <!--\; \subset \; -->X$$U\subset X$  — открытое подмножество $X$$X$ , причём его замыкание содержится во внутренности множества $Y$$Y$ , тогда если пары $(X\setminus <!--\; \setminus \; -->U,Y\setminus <!--\; \setminus \; -->U)$$(X\setminus U,Y\setminus U)$  и $(X,Y)$$(X,Y)$  принадлежат допустимому классу, то для любой размерности $k$$k$  вложению $(X\setminus <!--\; \setminus \; -->U,Y\setminus <!--\; \setminus \; -->U)\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->(X,Y)$$(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)$  соответствует изоморфизм $H_k(X\setminus <!--\; \setminus \; -->U,Y\setminus <!--\; \setminus \; -->U)\simeq <!--\; \simeq \; -->H_k(X,Y)$$H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)$  (аксиома вырезания).
7. Для одноточечного пространства $H_k(\ast <!--\; \ast \; -->)=0$$H_{k}(*)=0$  для всех размерностей $k>0$$k>0$ . Абелева группа $G=H_0(\ast <!--\; \ast \; -->)$$G=H_{0}(*)$  называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе $G$$G$  их отображения и граничный гомоморфизм $d_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$d_{*}$  удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению $f:<!--\; :\; -->(X,Y)\to <!--\; \to \; -->(X^{\prime },Y^{\prime })$$f\colon (X,Y)\to (X',Y')$  соответствует $f^{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H^k(X^{\prime },Y^{\prime })\to <!--\; \to \; -->H^k(X,Y)$$f^{*k}\colon H^{k}(X',Y')\to H^{k}(X,Y)$  (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->k}:<!--\; :\; -->H^{k-<!--\; -\; -->1}(Y)\to <!--\; \to \; -->H^k(X,Y)$$\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\to H^{k}(X,Y)$  увеличивает размерность.

Экстраординарные гомологииПравить

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей $k>0$$k>0$ , называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.

См. такжеПравить

• Гомологическая алгебра
• Гомотопия
• Фундаментальный класс
• Гомотопические группы

ЛитератураПравить

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5020139297.
• Hatcher A. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521795400.