Вторая квадратичная форма

Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Вторая квадратичная форма часто обозначается $\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{I\!I}$, а её компоненты традиционно обозначаются $L$$L$, $M$$M$ и $N$$N$.

Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.

ОпределениеПравить

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением $⟨<!--\; ⟨\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \cdot ,\cdot \rangle$  поверхность задана уравнением $r=r(u,v),$$r=r(u,v),$  где $u$$u$  и $v$$v$  ― внутренние координаты на поверхности; $dr=r_{u}du+r_{v}dv$$dr=r_{u}du+r_{v}dv$  ― дифференциал радиус-вектора $r$$r$  вдоль выбранного направления смещения из точки $M$$M$  в бесконечно близкую точку $M^{\prime }$$M'$ ; $n$$n$  — нормальный вектор к поверхности в точке $M$$M$ . Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

$\mathrm{I}\mathrm{I}=Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2,$$\mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},$ 

где коэффициенты определяются формулами:

$L=⟨<!--\; ⟨\; -->r_{uu},n⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->r_u,n_u⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{(r_{uu},r_u,r_v)}{\sqrt{EG-<!--\; -\; -->F^2}},$$L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},$ 

$M=⟨<!--\; ⟨\; -->r_{uv},n⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->r_u,n_v⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->r_v,n_u⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{(r_{uv},r_u,r_v)}{\sqrt{EG-<!--\; -\; -->F^2}},$$M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},$ 

$N=⟨<!--\; ⟨\; -->r_{vv},n⟩<!--\; ⟩\; -->=-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->r_v,n_v⟩<!--\; ⟩\; -->=\frac{(r_{vv},r_u,r_v)}{\sqrt{EG-<!--\; -\; -->F^2}},$$N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},$ 

где $(\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$(\cdot ,\cdot ,\cdot )$  обозначает смешанное произведение векторов и $E=|r_u{|}^2,$$E=|r_{u}|^{2},$  $F=⟨<!--\; ⟨\; -->r_u,r_v⟩<!--\; ⟩\; -->,$$F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,$  $G=|r_v{|}^2$$G=|r_{v}|^{2}$  ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Связанные определенияПравить

• Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор $S$$S$  на касательной плоскости определяемый как

  $S(V)=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_V\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},$$S(V)=-\nabla _{V}\nu ,$ 

где $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:

$⟨<!--\; ⟨\; -->S(V),W⟩<!--\; ⟩\; -->=\mathrm{I}\mathrm{I}(V,W).$$\langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).$ 

• Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
  • Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.

• Нормальная кривизна $k_V$$k_{V}$  по направлению $V$$V$  вычисляется по формуле

  $\frac{\mathrm{I}\mathrm{I}(V,V)}{\mathrm{I}(V,V)}=⟨<!--\; ⟨\; -->S(V),V⟩<!--\; ⟩\; -->/|V{|}^2$${\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)}}=\langle S(V),V\rangle /|V|^{2}$ 

где $\mathrm{I}$$\mathrm {I}$  — первая квадратичная форма.

• Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.

ВычислениеПравить

График функцииПравить

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции $z=f(x,y)$$z=f(x,y)$  в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами $x,y,z$$x,y,z$ , коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

$L=\frac{f_{xx}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},M=\frac{f_{xy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},N=\frac{f_{yy}}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}.$$L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac {f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.$ 

Вариации и обобщенияПравить

ГиперповерхностиПравить

Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением $⟨<!--\; ⟨\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ . Пусть $r:{\mathbb{R}}^{m-<!--\; -\; -->1}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^m$${r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$  — локальная карта поверхности в точке $P$$P$ .

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

$q_{ij}=⟨n,\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}r}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^j}⟩,i,j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m-<!--\; -\; -->1,$$q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r}}{\partial u^{i}\partial u^{j}}}{\biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,$ 

где $n$$n$  обозначает единичный вектор нормали.

Большая коразмерностьПравить

Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.

$\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)=({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{v}w{)}^{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}},$$\mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },$ 

где $({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{v}w{)}^{\mathrm{\perp <!--\; \perp \; -->}}$$(\nabla _{v}w)^{\bot }$  обозначает проекцию ковариантной производной ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{v}w$$\nabla _{v}w$  на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.

Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

$⟨<!--\; ⟨\; -->R(u,v)w,z⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{I}\mathrm{I}(u,z),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{I}\mathrm{I}(u,w),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,z)⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .$ 

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие $N$$N$  вложено в риманово многообразие $(M,g)$$(M,g)$  тогда тензор кривизны $R_N$$R_{N}$  многообразия $N$$N$  снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны $R_M$$R_{M}$  объемлющего многообразия $M$$M$ :

$⟨<!--\; ⟨\; -->R_N(u,v)w,z⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->R_M(u,v)w,z⟩<!--\; ⟩\; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{I}\mathrm{I}(u,z),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{I}\mathrm{I}(u,w),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,z)⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .$ 

См. такжеПравить

• Первая квадратичная форма
• Третья квадратичная форма
• Уравнения Петерсона ― Кодацци

ЛитератураПравить

• Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.

• Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

• А. В .Чернавский. Лекции по классической дифференциальной геометрии (2 курс)