Уравнения Петерсона ― Кодацци

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

УравненияПравить

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{b}_{i1}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^2}+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{i1}^1{b}_{12}+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{i1}^2{b}_{22}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{b}_{i2}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}^1}+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{i2}^1{b}_{11}+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{i2}^2{b}_{21}$${\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2}b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{2}b_{21}$ 

где $b_{ij}$$b_{{ij}}$  ― коэффициенты второй квадратичной формы, ${\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{jk}^i$$\Gamma _{jk}^{i}$  ― символы Кристоффеля.

СвойстваПравить

• Теорема Бонне. Если $g=g_{ij}$$g=g_{ij}$  и $b=b_{ij}$$b=b_{ij}$ , $i,j\in <!--\; \in \; -->\{1,2\}$$i,j\in \{1,2\}$  две гладкие квадратичные формы в области $U$$U$  удовлетворяющие уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$ , для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
  • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

ИсторияПравить

Уравнения впервые найдены Петерсоном в 1853, переоткрыты Майнарди и Кодацци(1867).

ЛитератураПравить

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.
• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.