Третья квадратичная форма

Третья квадратичная форма — один из способов описывать кривизны поверхности. Обычно обозначается $\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{I}$$\mathbf {I\!I\!I}$.

ОпределениеПравить

Пусть $S$$S$  обозначает оператор формы гладкой поверхности $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ . Кроме того, пусть $u$$u$  и $v$$v$  — элементы касательного пространства $T_p$$T_{p}$  в точке $p\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$p\in \Sigma$ . Третья фундаментальная форма определяется как следующее скалярное произведение

$\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{I}(u,v)=⟨<!--\; ⟨\; -->S(u),S(v)⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle S(u),S(v)\rangle .$ 

СвойстваПравить

• Третья квадратичная форма не зависит от знака нормали поверхности. (Это отличает её от второй квадратичной формы, которая меняет знак при смене знака нормали)

• Третья квадратичная форма выражается через первую и вторую квадратичную форму.

  $\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{I}-<!--\; -\; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->H\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{I}\mathbf{I}+K\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{I}=0,$$\mathbf {I\!I\!I} -2\cdot H\cdot \mathbf {I\!I} +K\cdot \mathbf {I} =0,$ 

где $H$$H$  — средняя кривизна поверхности и $K$$K$  — гауссова кривизна поверхности.

• Поскольку оператор формы самосопряжён, для $u,v\in <!--\; \in \; -->T_p(M)$$u,v\in T_{p}(M)$  мы имеем

  $\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{I}(u,v)=⟨<!--\; ⟨\; -->Su,Sv⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->u,S^{2}v⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->S^{2}u,v⟩<!--\; ⟩\; -->$$\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle$ .

См. такжеПравить

• Первая квадратичная форма
• Вторая квадратичная форма