Связное пространство

Не следует путать с Односвязное пространство.

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Множество A связно, а множество B несвязно.

ОпределениеПравить

Непустое топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых подмножеств. Связное пространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным.

Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения.

Говорят, что подмножество топологического пространства является связным, если оно связано как пространство с индуцированной топологией.

Эквивалентные определенияПравить

Пусть $X$$X$  — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $X$$X$  связно.
2. $X$$X$  нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
3. Единственные подмножества $X$$X$ , являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\varnothing$  и всё пространство $X$$X$ .
4. Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\varnothing$  и всё пространство $X$$X$ .
5. $X$$X$  не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
6. Единственными непрерывными функциями из $X$$X$  в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.

Связанные определенияПравить

• Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его компонентами связности, связными компонентами или просто компонентами.
  • Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
• Если существует база топологии пространства $X$$X$ , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства $X$$X$  и само пространство $X$$X$  (в этой топологии) называются локально связными.
• Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.
• Пространство $X$$X$ , для любых двух различных точек $x$$x$  и $y$$y$  которого существуют открытые непересекающиеся множества $U\ni <!--\; \ni \; -->x$$U\ni x$  и $V\ni <!--\; \ni \; -->y$$V\ni y$  такие, что $X=U\cup <!--\; \cup \; -->V$$X=U\cup V$ , называется вполне раздельным. Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ , введём на нём отношение эквивалентности по правилу $q\sim <!--\; \sim \; -->p\iff <!--\; \iff \; -->q=p,q\ne <!--\; \ne \; -->0,p\ne <!--\; \ne \; -->0$$q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0$ . Факторпространство по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.

СвойстваПравить

• В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные.
• В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую границу.
  • Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто открыто-замкнутыми. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
• Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
• Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
• Замыкание связного подмножества $A$$A$  связно.
  • Более того, всякое «промежуточное» подмножество $B$$B$  ($A\subset <!--\; \subset \; -->B\subset <!--\; \subset \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$$A\subset B \subset \bar{A}$ ) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество $A$$A$  плотно в $B$$B$ , то множество $B$$B$  тоже связно.
• Пусть $\{A_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}$$\{A_{\alpha}\}$  — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством $A$$A$ . Тогда множество

  $A\cup <!--\; \cup \; -->\left(\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{A}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)$$A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)$ 

тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)

• Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
• Каждая компонента пространства $X$$X$  является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства $X$$X$  не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества $A$$A$  пространства $X$$X$  — это максимальные связные подмножества множества $A$$A$ .
• Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
• Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
• В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
• Любое линейно связное пространство связно.
  • Обратное неверно; например замыкание графика функции $\sin <!--\; \; -->\frac{1}{x}$$\sin\tfrac1x$  связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок $[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,1]$  на оси ординат).

ПримерыПравить

• Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума.
• Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным.
• Множество Мандельброта — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.

Вариации и обобщенияПравить

• Линейно связное пространство

См. такжеПравить

• Вполне несвязное пространство
• Односвязное пространство
• Экстремально несвязное пространство