Веер Кнастера — Куратовского

Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, удаление из которого одной точки делает его вполне несвязным. Предложен польскими математиками Кнастером и Куратовским.

ПостроениеПравить

 

Рассмотрим прямоугольник

$S=[0;1]\times <!--\; \times \; -->\left[0;\frac{1}{2}\right]$$S=[0;1]\times \left[0;{\tfrac {1}{2}}\right]$ 

Построим на его нижнем ребре канторово множество $C$$C$  и обозначим через $A$$A$  множество точек канторова множества первого рода (т. е. концы всех удалённых интервалов), а через $B$$B$  все остальные точки из $C$$C$ . Пусть $L_c$$L_c$  это отрезок прямой, соединяющий точку $c\in <!--\; \in \; -->C$$c\in C$  с точкой $s=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$$s=\left({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}\right).$ 

В этих обозначениях веером Кнастера — Куратовского называется множество $X=Q\cup <!--\; \cup \; -->I$$X=Q\cup I$ , где

$Q=\{(x,y)\in <!--\; \in \; -->S\mid <!--\; \mid \; -->(x,y)\in <!--\; \in \; -->L_c,c\in <!--\; \in \; -->A,y\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}\}$$Q=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in A,\;y\in \mathbb {Q} \}$ 

$I=\{(x,y)\in <!--\; \in \; -->S\mid <!--\; \mid \; -->(x,y)\in <!--\; \in \; -->L_c,c\in <!--\; \in \; -->B,y\notin <!--\; \notin \; -->\mathbb{Q}\}.$$I=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in B,\;y\notin \mathbb {Q} \}.$ 

ОбоснованиеПравить

Покажем, что введённое множество связно.

Предположим, что это не так, то есть существуют множества $Y$$Y$  и $Z$$Z$  такие, что $X=Y\cup <!--\; \cup \; -->Z$$X=Y\cup Z$  и при этом $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}\cap <!--\; \cap \; -->Z=Y\cap <!--\; \cap \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Z}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$${\overline {Y}}\cap Z=Y\cap {\overline {Z}}=\emptyset$ . Для определённости будем считать, что $s\in <!--\; \in \; -->Y$$s\in Y$ . Обозначим за $u_c$$u_{c}$  точку из $L_c$$L_c$ , с $y$$y$ -координатой равной точной верхней грани $y$$y$ -координат всех точек, входящих в $Z\cap <!--\; \cap \; -->L_c$$Z\cap L_{c}$ . Если же $Z\cap <!--\; \cap \; -->L_c$$Z\cap L_{c}$  пусто, будем считать, что $u_c=c$$u_{c}=c$ . Очевидно, что $u_c$$u_{c}$  не может принадлежать $X\setminus <!--\; \setminus \; -->C$$X\setminus C$ , так как иначе эта точка оказалась бы предельной как для $Y$$Y$  так и для $Z$$Z$ , что противоречит предположению несвязности. То есть, $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}c\in <!--\; \in \; -->C{u}_c\in <!--\; \in \; -->A\subset <!--\; \subset \; -->X$$\forall c\in C\quad u_{c}\in A\subset X$  или $u_c\notin <!--\; \notin \; -->X$$u_{c}\notin X$ .

Пусть $\{r_i\}$$\{r_{i}\}$  — все рациональные числа отрезка $[0;1]$$[0; 1]$ , обозначим:

$P_i=\{c\in <!--\; \in \; -->B:\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}{u}_c=(x,r_i)\},P=\cup <!--\; \cup \; -->P_i,T=\{c\in <!--\; \in \; -->B:c=u_c\}$$P_{i}=\{c\in B:\exists u_{c}=(x,r_{i})\},\quad P=\cup P_{i},\quad T=\{c\in B:\;c=u_{c}\}$ 

Тогда $B=T\cup <!--\; \cup \; -->P$$B=T\cup P$ , то есть $C=A\cup <!--\; \cup \; -->T\cup <!--\; \cup \; -->P$$C=A\cup T\cup P$ . Заметим, что $P_i$$P_{i}$  нигде не плотны в $C$$C$ , иначе бы существовал открытый интервал, пересечение которого с $C$$C$  лежало бы в $P_i$$P_{i}$ , но любое такое пересечение по свойствам канторова множества обязано содержать точки из $A$$A$  в то время как $P_i\subset <!--\; \subset \; -->B=C\setminus <!--\; \setminus \; -->A$$P_{i}\subset B=C\setminus A$ .

Множество $C$$C$  является множеством второй категории как полное метрическое пространство; более того, любое открытое подмножество $C$$C$  также второй категории. Но $P\cup <!--\; \cup \; -->A$$P\cup A$  первой категории ($A$$A$  счётно, а $P$$P$  является счётным объединением нигде не плотных множеств), значит, в любом открытом подмножестве $C$$C$  обязаны лежать точки из $T$$T$ ; то есть $T$$T$  плотно в $C$$C$ .

Теперь допустим, что $z\in <!--\; \in \; -->Z$$z\in Z$ . В силу плотности $T$$T$  в $C$$C$ , любое открытое множество, содержащее $z$$z$ , содержит также и некоторый сегмент отрезка $L_t$$L_{t}$  для какого-то $t\in <!--\; \in \; -->T$$t\in T$ . По определению множества $T$$T$  имеем $(X\cap <!--\; \cap \; -->L_t)\setminus <!--\; \setminus \; -->\{t\}\subset <!--\; \subset \; -->Y$$(X\cap L_{t})\setminus \{t\}\subset Y$ , это значит, что $z\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}$$z\in {\overline {Y}}$ . Получили противоречие. Значит, предположение о несвязности множества $X$$X$  ошибочно.

Осталось показать, что удаление точки $s$$s$  делает $X$$X$  вполне несвязным. Предположим, что $V\subset <!--\; \subset \; -->X\setminus <!--\; \setminus \; -->\{s\}$$V\subset X\setminus \{s\}$  связно. Тогда оно обязано лежать целиком внутри какого-либо сегмента $L_c$$L_c$  (иначе бы оно было разделено некоторым сегментом надвое). Однако множество $L_c\cap <!--\; \cap \; -->(X\setminus <!--\; \setminus \; -->\{s\})$$L_{c}\cap (X\setminus \{s\})$  вполне несвязно, значит, и $V$$V$  вполне несвязно.

ЛитератураПравить

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размеренности.
• Steen, Seebach. Counterexamples in Topology