Индуцированная топология

Индуци́рованная тополόгия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

ОпределениеПравить

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$$(X,\;\mathcal{T})$ , где $X$$X$  — произвольное множество, а $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$  — определённая на $X$$X$  топология. Пусть также $Y\subset <!--\; \subset \; -->X$$Y\subset X$ . Определим ${\mathcal{T}}_Y$${\mathcal {T}}_{Y}$  — семейство подмножеств $Y$$Y$  следующим образом:

${\mathcal{T}}_Y=\{U\cap <!--\; \cap \; -->Y\mid <!--\; \mid \; -->U\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T}\}.$${\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.$ 

Несложно проверить, что ${\mathcal{T}}_Y$${\mathcal {T}}_{Y}$  является топологией на $Y$$Y$ . Эта топология называется индуцированной топологией $\mathcal{T}$$\mathcal{T}$ . Топологическое пространство $(Y,{\mathcal{T}}_Y)$$(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$  называется подпростра́нством $(X,\mathcal{T})$$(X,\;\mathcal{T})$ .

Эту конструкцию можно обобщить. Пусть $X$$X$  – произвольное множество, $(Y,{\mathcal{T}}_Y)$$(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$  – топологическое пространство и $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  – произвольное отображение $X$$X$  в $Y$$Y$ . Тогда в качестве ${\mathcal{T}}_X$${\mathcal {T}}_{X}$  возьмем всевозможные множества вида $f^{-<!--\; -\; -->1}$$f^{-1}$ ($V$$V$ ), где $V$$V$  – открытые множества в $Y$$Y$ . Топология ${\mathcal{T}}_X$${\mathcal {T}}_{X}$  называется индуцированной отображением $f$$f$  топологией. Она хороша тем, что отображение $f$$f$  в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства $X$$X$ , для которых отображение $f$$f$  будет непрерывным.

ПримерПравить

Пусть дана вещественная прямая $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел $\mathbb{N}\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{R}$$\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$ , является дискретной.