Бинарная группа тетраэдра

В математике бинарная группа тетраэдра (обозначается как 2T или <2,3,3>) — это некоторая неабелева группа 24-го порядка. Группа является расширением тетраэдральной группы T (или (2,3,3)) 12-го порядка циклической группы 2-го порядка и является прообразом группы тетраэдра для 2:1 накрывающего гомоморфизма^[en] $\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(3)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{SO}<!--\; \; -->(3)$$\operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)$ специальной ортогональной группы спинорной группой. Отсюда следует, что бинарная группа тетраэдра — дискретная подгруппа группы Spin(3) 24-го порядка.

Бинарную группу тетраэдра проще всего описать как дискретную подгруппу единиц кватернионов при изоморфизме $\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(3)\cong <!--\; \cong \; -->\mathrm{Sp}<!--\; \; -->(1)$$\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$, где Sp(1) — мультипликативная группа единиц кватернионов (см. описание этого гомоморфизма в статье кватернионы и вращение пространства).

ЭлементыПравить

 

Граф Кэли группы SL(2,3)

Бинарная группа тетраэдра задается как группа единиц в кольце целых чисел Гурвица. Имеется 24 такие единицы

$\{\pm <!--\; \pm \; -->1,\pm <!--\; \pm \; -->i,\pm <!--\; \pm \; -->j,\pm <!--\; \pm \; -->k,\frac{1}{2}(\pm <!--\; \pm \; -->1\pm <!--\; \pm \; -->i\pm <!--\; \pm \; -->j\pm <!--\; \pm \; -->k)\}$$\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}$ 

с любой комбинацией знаков.

Все 24 единицы по абсолютному значению равны 1 и поэтому находятся в группе единиц кватернионов Sp(1). Выпуклая оболочка этих 24 элементов в 4-мерном пространстве образует выпуклый правильный 4-мерный многогранник, называемый 24-ячейкой^[en].

СвойстваПравить

Бинарная группа тетраэдра 2T укладывается в короткую точную последовательность

$1\to <!--\; \to \; -->\{\pm <!--\; \pm \; -->1\}\to <!--\; \to \; -->2T\to <!--\; \to \; -->T\to <!--\; \to \; -->1.$$1\to \{\pm 1\}\to 2T\to T\to 1.$ 

Эта последовательность не расщепляется^[en] в том смысле, что 2T не является полупрямым произведением {±1} на T. Фактически не существует подгруппы 2T изоморфной T.

Бинарная группа тетраэдра является накрывающей группой^[en] тетраэдральной группы. Если рассматривать тетраэдральную группу как знакопеременную группу четырёх букв $T\cong <!--\; \cong \; -->A_4$$T\cong A_{4}$ , бинарная группа тетраэдра будет накрывающей группой $2T\cong <!--\; \cong \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A_4}.$$2T\cong {\widehat {A_{4}}}.$ 

Центром группы 2T является подгруппа {±1}. Группа внутренних автоморфизмов^[en] изоморфна $A_4$$A_{4}$ , а полная группа автоморфизмов изоморфна $S_4$$S_4$ .

 

Умножение слева на −ω, элемент порядка 6, образует четыре орбиты. Сам элемент ω находится в самом низу: ω = (−ω)(−1) = (−ω)⁴

Бинарная группа тетраэдра может быть записана как полупрямое произведение

$2T=Q⋊<!--\; ⋊\; -->{\mathbb{Z}}_3$$2T=Q\rtimes \mathbb {Z} _{3}$ 

где Q — группа кватернионов, состоящая из 8 единиц Липшица и Z₃, циклическая группа 3-го порядка, образованная ω = −½(1+i+j+k). Группа Z₃ работает на нормальной подгруппе Q как сопряжение. Сопряжение относительно ω — это автоморфизм Q, который циклически вращает i, j и k.

Можно показать, что бинарная группа тетраэдра изоморфна линейной группе SL(2,3) — группе всех 2×2 матриц над конечным полем F₃ с единичным детерминантом.

Задание группыПравить

Группа 2T имеет задание, определяемое формулой

$⟨<!--\; ⟨\; -->r,s,t\mid <!--\; \mid \; -->r^2=s^3=t^3=rst⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle$ ,

что эквивалентно

$⟨<!--\; ⟨\; -->s,t\mid <!--\; \mid \; -->(st{)}^2=s^3=t^3⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .$ 

Генераторы задаются формулой

$s=\frac{1}{2}(1+i+j+k)t=\frac{1}{2}(1+i+j-<!--\; -\; -->k).$$s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+j-k).$ 

ПодгруппыПравить

Группа кватернионов, состоящая из 8 единиц Липшица, образует нормальную подгруппу 2T с индексом 3. Эта группа и центр {±1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами.

Все остальные подгруппы группы 2T являются циклическими группами порядка 3, 4 и 6, образованными различными элементами.

Большие размерностиПравить

Поскольку тетраэдральная группа обобщается до группы симметрий вращений n-симплекса (как подгруппы SO(n)), существует соответствующая бинарная группа большего порядка, которая является накрытием 2-многообразия, получаемая из накрытия $\mathrm{Spin}<!--\; \; -->(n)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{SO}<!--\; \; -->(n).$$\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n).$ 

Группа вращательной симметрии n-симплекса может быть представлена как знакопеременная группа из $n+1$$n+1$  букв, $A_{n+1},$$A_{n+1},$  и соответствующая бинарная группа является накрывающей группой^[en] 2-многообразия. Для всех больших размерностей, за исключением $A_6$$A_{6}$  и $A_7$$A_7$  (соответствующих 5-мерным и 6-мерным симплексам), эта бинарная группа является накрывающей группой^[en] (максимальной накрывающей) и сверхсовершенной^[en], но для размерностей 5 и 6 существует дополнительное особое накрытие 3-многообразия и бинарные группы не являются сверхсовершенными.

Использование в теоретической физикеПравить

Бинарная группа тетраэдра использована в контексте теории Янга — Миллса в 1956 году Янгом Чжэньнин. Она впервые использована для построения физической модели Полем Фрэмптоном и Томасом Кефартом в 1994 году . В 2012 году показано, что связь между углами разлёта нейтрино, полученная с помощью бинарной тетраэдральной симметрии, согласуется с теорией.

См. такжеПравить

• Бинарная группа многогранника^[en]
• Бинарная циклическая группа
• Бинарная группа диэдра^[en]
• Бинарная группа октаэдра^[en]
• Бинарная группа икосаэдра

ЛитератураПравить

• John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions. — Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd, 2003. — ISBN 1-56881-134-9.
• H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9. 6.5 The binary polyhedral groups, p. 68
• E.M. Case, Robert Karplus, C.N. Yang. Strange Particles and the Conservation of Isotopic Spin // Physical Review. — 1956. — Т. 101. — doi:10.1103/PhysRev.101.874.
• Paul H. Frampton, Thomas W. Kephart. Simple Nonabelian Finite Flavor Groups and Fermion Masses // International Journal of Modern Physics. — 1995. — Т. A10.
• David A. Eby, Paul H. Frampton. Nonzero theta(13)signals nonmaximal atmospheric neutrino mixing // Physical Review. — 2012. — Т. D86. — doi:10.1103/physrevd.86.117304. — arXiv:1112.2675.
• David A. Eby, Paul H. Frampton, Shinya Matsuzaki. Predictions for neutrino mixing angles in a T′ Model // Physics Letters. — 2009. — Т. B671. — P. 386—390. — arXiv:0801.4899.