Квантовый гармонический осциллятор

Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой $m$$m$ и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представленииПравить

 

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, $n=0,\dots <!--\; \dots \; -->,7$$n=0,\dots ,7$ . По горизонтали отложена координата $q$$q$ , по вертикали — значение волновой функции ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n(q)$$\psi _{n}(q)$ . Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}^2}{2m}+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{q}}^2}{2}$$\!{\hat {H}}={\frac {{\hat p}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat q}^{2}}{2}}$ 

В координатном представлении $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}=-<!--\; -\; -->i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x$${\hat p}=-i\hbar \partial /\partial x$  , $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{q}=x$${\hat q}=x$ . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых дифференциальное уравнение в частных производных

$-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{x}^2}{2}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=E\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)$ 

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для $E_n=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left(n+\frac{1}{2}\right),n=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots$ 

решение имеет вид:

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\frac{m\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\right)}^{1/4}\cdot <!--\; \cdot \; -->\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{m\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{x}^2}{2\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->H_n\left(\sqrt{\frac{m\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}}x\right),$$\psi _{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2^{n}n!}}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/4}}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {{\frac {m\omega }{\hbar }}}}x\right),$ 

функции $H_n$$H_n$  — полиномы Эрмита:

$H_n(x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}$$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{{x^{2}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{{-x^{2}}}$ 

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\hbar \omega$ ; во-вторых, наименьшее значение энергии равно $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2$$\hbar \omega /2$ . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Операторы рождения и уничтоженияПравить

Основная статья: Вторичное квантование

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения — ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{+}$${\hat {a}}^{+}$ , оператор уничтожения — $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}$${\hat {a}}$ , их коммутатор равен

$[\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a},{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{+}]=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{+}-<!--\; -\; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{+}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}=\frac{i}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{q}-<!--\; -\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{q}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p})=1$$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{+}]={\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a}}^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hat {q}}-{\hat {q}}{\hat {p}})=1$ 

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left({\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{+}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}+\frac{1}{2}\right)=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}+\frac{1}{2}\right)$${\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)$ 

где $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{n}={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{+}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}$${\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$  — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные вектора такого гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Ангармонический осцилляторПравить

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=\frac{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{q}}^2+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{q}}^3$${\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}+\lambda {\hat {q}}^{3}$ 

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2m\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\right)}^{\frac{3}{2}}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{+}{)}^3.$$\lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{{3 \over 2}}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3}.$ 

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния $|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_E⟩$$\left|\psi _{E}\right\rangle$  равна

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}^{(2)}={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2⟨{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_E|q^3\frac{1}{E-<!--\; -\; -->\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2}{q}^3|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_E⟩.$$\Delta E^{{(2)}}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .$ 

Многочастичный квантовый осцилляторПравить

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

${\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{i<j}^{N}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}$ 

Здесь под ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{q}}_i$${\hat {q}}_{i}$  и ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}_i$${\hat {p}}_{i}$  подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс $i$$i$ -той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силыПравить

Под влиянием внешней силы $f(t)$$f(t)$  квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии ($n$$n$ ) на другой ($m$$m$ ). Вероятность этого перехода $W_{n,m}(t)$$W_{n,m}(t)$  для осциллятора без затухания даётся формулой:

$W_{n,m}(t)=\frac{n!}{m!}|\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{|}^{2(n-<!--\; -\; -->m)}exp\left(-<!--\; -\; -->|{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^2|{\left(L_n^{m-<!--\; -\; -->n}(|\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{|}^2)\right)}^2\right)$$W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(n-m)}exp\left(-|\delta ^{2}|\left(L_{n}^{m-n}(|\delta |^{2})\right)^{2}\right)$ ,

где функция $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t)$$\delta (t)$  определяется как:

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t)=-<!--\; -\; -->il\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}f(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})exp(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }$ ,

а $L_m^{m-<!--\; -\; -->n}$$L_{m}^{{m-n}}$  — полиномы Лагерра.

См. такжеПравить

• Уровни Ландау
• Гармонический осциллятор

ЛитератураПравить

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).