Вторичное квантование

Втори́чное квантова́ние (каноническое квантование) — метод описания многочастичных квантовомеханических систем. Наиболее часто этот метод применяется для задач квантовой теории поля и в многочастичных задачах физики конденсированных сред.

ОписаниеПравить

Предположим, что существует классификация всех возможных состояний каждой частицы или квазичастицы в рассматриваемой системе. Обозначим состояния частицы как $1,2,3,...$$1,2,3,...$ . Тогда любое возможное состояние системы описывается набором чисел частиц (чисел заполнения) в каждом из этих состояний $(N_1,N_2,N_3,...)$$(N_{1},N_{2},N_{3},...)$ . Суть метода вторичного квантования в том, что вместо волновых функций частиц в координатном или в импульсном представлении вводятся волновые функции в представлении чисел заполнения различных состояний одной частицы. Достоинство метода вторичного квантования в том, что он позволяет единообразно описывать системы с различным числом частиц, как с конечным фиксированным (в задачах физики конденсированных сред), так и с переменным, потенциально бесконечным (в задачах КТП). Переходы между различными состояниями (например, из состояния $k$$k$  в состояние $q$$q$ ) одной частицы при этом описываются как уменьшение числа заполнения, соответствующего одной волновой функции на единицу $(N_k\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->N_k-<!--\; -\; -->1)$$(N_{k}\Rightarrow N_{k}-1)$ , и увеличение числа заполнения другого состояния на единицу $(N_q\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->N_q+1)$$(N_{q}\Rightarrow N_{q}+1)$ . Вероятности этих процессов зависят не только от элементарной вероятности перехода, но и от чисел заполнения, участвующих в процессе состояний.

Статистика Бозе — ЭйнштейнаПравить

Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна, вероятность перехода из состояния $k$$k$  в состояние $q$$q$  есть $W(k,q)=w(k,q)N_k(N_q+1)$$W(k,q)=w(k,q)N_{k}(N_{q}+1)$ , где $w(k,q)$$w(k,q)$  — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики. Операторы, изменяющие числа заполнения состояний на единицу, работают так же как операторы рождения и уничтожения в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе:

$[{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_j^{†<!--\; †\; -->}]={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij},[{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_j]=0,$$[{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij},\ [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}]=0,$ 

где квадратные скобки означают коммутатор, а ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$\delta _{{ij}}$  — символ Кронекера.

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:

$⟨N_i|a_i^{†<!--\; †\; -->}|N_i-<!--\; -\; -->1⟩={⟨N_i-<!--\; -\; -->1|a_i|N_i⟩}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\sqrt{N_i}$$\left\langle N_{i}|a_{i}^{\dagger }|N_{i}-1\right\rangle =\left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_{i}\right\rangle ^{*}={\sqrt {N_{i}}}$ .

Оператор рождения ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i^{†<!--\; †\; -->}$${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$  так называется потому, что он увеличивает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i^{†<!--\; †\; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(N_1,N_2,...,N_i,...)=\sqrt{N_i+1}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(N_1,N_2,...,N_i+1,...)$${\hat {a}}_{i}^{\dagger }\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt {N_{i}+1}}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}+1,...)$ 

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

$⟨N_i-<!--\; -\; -->1|a_i|N_i⟩=\sqrt{N_i}$$\left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_{i}\right\rangle ={\sqrt {N_{i}}}$ .

Оператор уничтожения ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i$${\hat {a}}_{i}$  так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(N_1,N_2,...,N_i,...)=\sqrt{N_i}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(N_1,N_2,...,N_i-<!--\; -\; -->1,...)$${\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt {N_{i}}}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}-1,...)$ 

Статистика Ферми-ДиракаПравить

Для частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, вероятность перехода из состояния $k$$k$  в состояние $q$$q$  есть $W(k,q)=w(k,q)N_k(1-<!--\; -\; -->N_q)$$W(k,q)=w(k,q)N_{k}(1-N_{q})$ , где $w(k,q)$$w(k,q)$  — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики, а $N_k,N_q$$N_{k},N_{q}$  могут принимать значения только $0,1$$0,1$ . Для фермионов используются другие операторы, которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

$\left\{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_j^{†<!--\; †\; -->}\right\}={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_j^{†<!--\; †\; -->}+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_j^{†<!--\; †\; -->}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij},\left\{{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_j\right\}=0.$$\left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right\}={\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }+{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}=\delta _{ij},\ \left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right\}=0.$ 

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:

$⟨1_i|a_i^{†<!--\; †\; -->}|0_i⟩={⟨0_i|a_i|1_i⟩}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{i-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{N}_k}$$\left\langle 1_{i}|a_{i}^{\dagger }|0_{i}\right\rangle =\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\right\rangle ^{*}=(-1)^{\sum _{k=1}^{i-1}N_{k}}$ .

Оператор рождения ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i^{†<!--\; †\; -->}$${\hat {a}}_{i}^{\dagger }$  так называется потому, что он увеличивает c 0 до 1 число частиц в i-м состоянии:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i^{†<!--\; †\; -->}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(N_1,N_2,...,0_i,...)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(N_1,N_2,...,1_i,...)$${\hat {a}}_{i}^{\dagger }\Phi (N_{1},N_{2},...,0_{i},...)=\Phi (N_{1},N_{2},...,1_{i},...)$ 

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

$⟨0_i|a_i|1_i⟩=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\underset{k=1}{\overset{i-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{N}_k}$$\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\right\rangle =(-1)^{\sum _{k=1}^{i-1}N_{k}}$ .

Оператор уничтожения ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i$${\hat {a}}_{i}$  так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_i\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(N_1,N_2,...,1_i,...)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(N_1,N_2,...,0_i,...)$${\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,1_{i},...)=\Phi (N_{1},N_{2},...,0_{i},...)$ 

ПримененияПравить

Задачи по переходам квантовых частиц с различных состояний, физика лазеров, теория комбинационного рассеяния света, физика твердого тела, теория турбулентности жидкости, газа, плазмы.

См. такжеПравить

• Нерешённые проблемы современной физики
• Алгебра Грассмана
• Операторы рождения и уничтожения

ЛитератураПравить

• Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1986. — 320 с.
• Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. — М.: Наука, 1984. — 384 с.
• Нгуен Ван Хьеу. Основы метода вторичного квантования. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.
• Ю. А. Неретин. «Метод вторичного квантования» Березина. Взгляд 40 лет спустя.