Многочлены Эрмита

Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Многочлены Эрмита
Общая информация
Формула	$H_n(x)=\underset{j=0}{\overset{[n/2]}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^j\frac{n!}{j!(n-<!--\; -\; -->2j)!}(2x{)}^{n-<!--\; -\; -->2j}$$H_{n}(x)=\sum _{{j=0}}^{{[n/2]}}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}(2x)^{{n-2j}}$
Скалярное произведение	$(f,g)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}f(x)g(x)dx$$(f,g)=\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}f(x)g(x)dx$
Область определения	$x\in <!--\; \in \; -->R$$x\in R$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	$y^{″}(x)-<!--\; -\; -->2x{y}^{\prime }(x)+2ny(x)=0$$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$
Норма	$\Vert <!--\; \Vert \; -->H_n\Vert <!--\; \Vert \; -->=\sqrt{2^{n}n!\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$$\|H_{n}\|={\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}$
Названы в честь	Шарль Эрмит

Названы в честь французского математика Шарля Эрмита.

ОпределениеПравить

 

Графики многочленов Эрмита порядка $n=0,1,...,5$$n=0,1,...,5$  (вероятностное определение)

В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

$H_n^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}}(x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2/2}$$H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}$ ;

в физике обычно используется другое определение:

$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-<!--\; -\; -->x^2}$$H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$ .

Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого

$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=2^{n/2}{H}_n^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}}(\sqrt{2}x)$$H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {math} }({\sqrt {2}}\,x)$ .

Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

$H_0(x)=1$$H_{0}(x)=1$ 

$H_1(x)=x$$H_{1}(x)=x$ 

$H_2(x)=x^2-<!--\; -\; -->1$$H_{2}(x)=x^{2}-1$ 

$H_3(x)=x^3-<!--\; -\; -->3x$$H_{3}(x)=x^{3}-3x$ 

$H_4(x)=x^4-<!--\; -\; -->6x^2+3$$H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3$ 

$H_5(x)=x^5-<!--\; -\; -->10x^3+15x$$H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x$ 

$H_6(x)=x^6-<!--\; -\; -->15x^4+45x^2-<!--\; -\; -->15$$H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15$ 

$H_7(x)=x^7-<!--\; -\; -->21x^5+105x^3-<!--\; -\; -->105x$$H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x$ 

$H_8(x)=x^8-<!--\; -\; -->28x^6+210x^4-<!--\; -\; -->420x^2+105$$H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105$ 

$H_9(x)=x^9-<!--\; -\; -->36x^7+378x^5-<!--\; -\; -->1260x^3+945x$$H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x$ 

$H_{10}(x)=x^{10}-<!--\; -\; -->45x^8+630x^6-<!--\; -\; -->3150x^4+4725x^2-<!--\; -\; -->945$$H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945$  .

Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:

$H_0(x)=1$$H_{0}(x)=1$ 

$H_1(x)=2x$$H_{1}(x)=2x$ 

$H_2(x)=4x^2-<!--\; -\; -->2$$H_{2}(x)=4x^{2}-2$ 

$H_3(x)=8x^3-<!--\; -\; -->12x$$H_{3}(x)=8x^{3}-12x$ 

$H_4(x)=16x^4-<!--\; -\; -->48x^2+12$$H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12$ 

$H_5(x)=32x^5-<!--\; -\; -->160x^3+120x$$H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x$ 

$H_6(x)=64x^6-<!--\; -\; -->480x^4+720x^2-<!--\; -\; -->120$$H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120$ 

$H_7(x)=128x^7-<!--\; -\; -->1344x^5+3360x^3-<!--\; -\; -->1680x$$H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x$ 

$H_8(x)=256x^8-<!--\; -\; -->3584x^6+13440x^4-<!--\; -\; -->13440x^2+1680$$H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680$ 

$H_9(x)=512x^9-<!--\; -\; -->9216x^7+48384x^5-<!--\; -\; -->80640x^3+30240x$$H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x$ 

$H_{10}(x)=1024x^{10}-<!--\; -\; -->23040x^8+161280x^6-<!--\; -\; -->403200x^4+302400x^2-<!--\; -\; -->30240$$H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240$ 

Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид: $H_n(x)=\underset{j=0}{\overset{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->n/2\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^j\frac{n!}{j!(n-<!--\; -\; -->2j)!}(2x{)}^{n-<!--\; -\; -->2j}=(2x{)}^n-<!--\; -\; -->\frac{n(n-<!--\; -\; -->1)}{1}(2x{)}^{n-<!--\; -\; -->2}+\frac{n(n-<!--\; -\; -->1)(n-<!--\; -\; -->2)(n-<!--\; -\; -->3)}{2}(2x{)}^{n-<!--\; -\; -->4}-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->,$$H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1}}(2x)^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}(2x)^{n-4}-\ldots ,$ 

СвойстваПравить

• Многочлен $H_n(x)$$H_n(x)$  содержит члены только той же чётности, что и само число $n$$n$ :
• Многочлен $H_n(x)$$H_n(x)$  чётен при чётном $n$$n$  и нечётен при нечётном $n$$n$ :

  $H_{2n}(-<!--\; -\; -->x)=H_{2n}(x),H_{2n+1}(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->H_{2n+1}(x),n=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0,1,2,\ldots$ .

• При $x=0$$x=0$  верны такие соотношения:

  $H_{2n}(0)=\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!},H_{2n+1}=0,n=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}},~~H_{{2n+1}}=0,~~~n=0,1,2,\ldots$ , (в вероятностном определении)

  $H_{2n}(0)=\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n(2n)!}{n!},H_{2n+1}=0,n=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{{2n+1}}=0,~~~n=0,1,2,\ldots$ . (в физическом определении)

• Уравнение $H_n(x)=0$$H_{n}(x)=0$  имеет $n$$n$  вещественных корней, попарно симметричных относительно начала системы координат, и модуль каждого из них не превосходит величины $\sqrt{n(n-<!--\; -\; -->1)/2}$${\sqrt {n(n-1)/2}}$ . Корни многочлена $H_n(x)=0$$H_{n}(x)=0$  чередуются с корнями многочлена $H_{n+1}(x)=0$$H_{{n+1}}(x)=0$ .
• Многочлен $H_n(x)$$H_n(x)$  можно представить в виде определителя матрицы $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ :

  $H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|$ 

Формула сложенияПравить

Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:

$\frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n^2{)}^{\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{2}}}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}!}{H}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\left[\frac{a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->a_n{x}_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n^2}}\right]=\underset{m_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+m_n=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots <!--\; \cdots \; -->\frac{a_n^{m_n}}{m_n!}{H}_{m_1}(x_1)\cdots <!--\; \cdots \; -->H_{m_n}(x_n).$${\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{{{\frac {\mu }{2}}}}}{\mu !}}H_{{\mu }}\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}}\right]=\sum _{{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }}{\frac {a_{1}^{{m_{1}}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{{m_{n}}}}{m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x_{1})\cdots H_{{m_{n}}}(x_{n})~.$ 

Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:

• $a_1=a_2=\cdots <!--\; \cdots \; -->=a_n=1$$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$ , $x_1=x_2=\cdots <!--\; \cdots \; -->=x_n$$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ . Тогда

$n^{\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{2}}{H}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(\sqrt{n}x)=\underset{m_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+m_n=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}!}{m_1!\cdots <!--\; \cdots \; -->m_n!}{H}_{m_1}(x)\cdots <!--\; \cdots \; -->H_{m_n}(x)$$n^{{{\frac {\mu }{2}}}}H_{{\mu }}({\sqrt {n}}x)=\sum _{{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }}{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x)\cdots H_{{m_{n}}}(x)$ .

• $n=2$$n=2$ , $a_1=a_2=1$$a_{1}=a_{2}=1$ , $x_1=\sqrt{2}x,x_2=\sqrt{2}y$$x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$ . Тогда

$2^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{H}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x+y)=\underset{p+q+r+s=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}!}{p!q!r!s!}{H}_p(x)H_q(x)H_p(y)H_q(y)$$2^{\mu }H_{{\mu }}(x+y)=\sum _{{p+q+r+s=\mu }}{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)$ .

Дифференцирование и рекуррентные соотношенияПравить

Производная $k$$k$ -го порядка от многочлена Эрмита $H_n(x)$$H_n(x)$ , $n\ge <!--\; \ge \; -->k$$n\geq k$  также есть многочлен Эрмита (для физического определения):
$\frac{d^k}{d{x}^k}{H}_n(x)=2^{k}n(n-<!--\; -\; -->1)\cdots <!--\; \cdots \; -->(n-<!--\; -\; -->k+1)H_{n-<!--\; -\; -->k}(x),$${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=2^{k}n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,$ 
Отсюда получается соотношение для первой производной (для физического определения)
$H_n^{\prime }(x)=\frac{d{H}_n(x)}{dx}=2n{H}_{n-<!--\; -\; -->1}(x)$$H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=2nH_{n-1}(x)$ 
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
$H_n(x)-<!--\; -\; -->x{H}_{n-<!--\; -\; -->1}(x)+(n-<!--\; -\; -->1)H_{n-<!--\; -\; -->2}(x)=0,n\ge <!--\; \ge \; -->2$$H_{n}(x)-xH_{{n-1}}(x)+(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$ 
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
$H_n(x)-<!--\; -\; -->2x{H}_{n-<!--\; -\; -->1}(x)+2(n-<!--\; -\; -->1)H_{n-<!--\; -\; -->2}(x)=0,n\ge <!--\; \ge \; -->2$$H_{n}(x)-2xH_{{n-1}}(x)+2(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$ 

ОртогональностьПравить

Многочлены Эрмита образуют полную ортогональную систему на интервале $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(-\infty,+\infty)$  с весом $e^{-<!--\; -\; -->x^2/2}$$e^{-x^{2}/2}$  или $e^{-<!--\; -\; -->x^2}$$e^{-x^{2}}$  в зависимости от определения:

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{H}_n(x)H_m(x)e^{-<!--\; -\; -->x^2/2}dx=n!\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathit{n}\mathit{m}}$$\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}/2}}\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{{{\mathit {nm}}}}$ , (в вероятностном определении)

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{H}_n(x)H_m(x)e^{-<!--\; -\; -->x^2}dx=2^{n}n!\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathit{n}\mathit{m}}$$\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}}}\,dx=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{{{\mathit {nm}}}}$ , (в физическом определении)

где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{mn}$$\delta _{{mn}}$  — дельта-символ Кронекера.

Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого $p$$p$  справедлива запись

$\frac{x^p}{p!}=\underset{k=0}{\overset{k\le <!--\; \le \; -->p/2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-<!--\; -\; -->2k)!}{H}_{p-<!--\; -\; -->2k}(x).$${\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{{k=0}}^{{k\leq p/2}}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{{p-2k}}(x).$ 

Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена $f(x)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{x}^n$$f(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}x^{n}$  и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, $f(x)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_n{H}_n(x)$$f(x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)$ ,которые называются отношениями Нильса Нильсона:

$A_n=\frac{1}{n!}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}{a}_{n+2k},a_n=\frac{1}{n!}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}{A}_{n+2k}$$A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}a_{{n+2k}},~~~a_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}A_{{n+2k}}$ 

Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:

${}_1{F}_1(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->};x)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},n)}{(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},n)(1,n)}{}_2{F}_2\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+n}{2},\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+n+1}{2};\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+n}{2},\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+n+1}{2};\frac{1}{2}\right)H_n(x),(a,b)\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(a+b)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(a)},$${}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2}},{\frac {\alpha +n+1}{2}};{\frac {\gamma +n}{2}},{\frac {\gamma +n+1}{2}};{\frac {1}{2}}\right)H_{n}(x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)}},$ 

где ${}_2{F}_2(a_1,a_2;b_1,b_2;x)$${}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)$  —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x)$$\Gamma (x)$  — гамма-функция.

Разложение функций, в которых присутствует экспонента.

Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент $f(x)=\underset{k=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{e}^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{k}x},$$f(x)=\sum _{{k=1}}^{{p}}c_{k}e^{{\alpha _{k}x}},$  можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
$f(x)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{A}_n{H}_n(x),A_n=\frac{1}{n!}\underset{k=1}{\overset{p}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k^n{e}^{\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k^2}{2}}.$$f(x)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{{k=1}}^{{p}}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{{{\frac {\alpha _{k}^{2}}{2}}}}~.$ 

Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид

$\mathrm{c}\mathrm{h}tx=e^{\frac{t^2}{2}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{t^{2n}}{(2n)!}{H}_{2n}(x),\mathrm{s}\mathrm{h}tx=e^{\frac{t^2}{2}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}{H}_{2n+1}(x),$${\mathrm {ch}}\,{tx}=e^{{{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~{\mathrm {sh}}\,{tx}=e^{{{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+1)!}}H_{{2n+1}}(x),$ 

$\cos <!--\; \; -->tx=e^{-<!--\; -\; -->\frac{t^2}{2}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}{H}_{2n}(x),\sin <!--\; \; -->tx=e^{-<!--\; -\; -->\frac{t^2}{2}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}{H}_{2n+1}(x),$$\cos {tx}=e^{{-{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~\sin {tx}=e^{{-{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+1)!}}H_{{2n+1}}(x),$ 

Дифференциальные уравненияПравить

Многочлены Эрмита $H_n(x)$$H_n(x)$  являются решениями линейного дифференциального уравнения:

$y^{″}(x)-<!--\; -\; -->2x{y}^{\prime }(x)+2ny(x)=0$$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$ 

Если $n$$n$  является целым числом, то общее решение вышеприведённого уравнения записывается как

$y(x)=A{H}_n(x)+B{h}_n(x)$$y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)$ ,

где $A,B$$A,B$  — произвольные постоянные, а функции $h_n(x)$$h_{n}(x)$  называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций $e^{x^2/2}$$e^{{x^{2}/2}}$  и ${\int <!--\; \int \; -->}_0^x{e}^{z^2/2}dz$$\int _{0}^{x}e^{{z^{2}/2}}dz$ .

ПредставленияПравить

Многочлены Эрмита предполагают такие представления:

$H_n(x)=\frac{n!}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}i}{\oint <!--\; \oint \; -->}_{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}\frac{e^{zx-<!--\; -\; -->z^2/2}}{z^{n+1}}dz$$H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{{zx-z^{2}/2}}}{z^{{n+1}}}}\,dz$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — контур, который охватывает начало координат.

Другое представление имеет вид:

$H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(x+iy{)}^n{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{2}}dy$$H_{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}(x+iy)^{n}e^{{-{\frac {y^{2}}{2}}}}dy$ .

Связь с другими специальными функциямиПравить

• Связь с функцией Куммера:

  $H_{2n}(x)=\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!}{}_1{F}_1\left(-<!--\; -\; -->n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}\right),H_{2n+1}(x)=\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x{}_1{F}_1\left(-<!--\; -\; -->n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2}\right)$$H_{{2n}}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{{2n+1}}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!}}x~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)$ 

• Связь с многочленами Лагерра:

  $H_{2n}(x)=(-<!--\; -\; -->2{)}^{n}n!L_n^{(-<!--\; -\; -->1/2)}(x^2/2),H_{2n+1}(x)=(-<!--\; -\; -->2{)}^{n}n!x{L}_n^{(1/2)}(x^2/2)$$H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2}/2)$ 

ПрименениеПравить

• В квантовой механике многочлены Эрмита входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора. В безразмерных переменных уравнения Шрёдингера, которое описывает состояние квантового гармонического осциллятора, имеет вид:

$\left(-<!--\; -\; -->\frac{d^2}{d{x}^2}+x^2\right){\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n(x)={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n(x)$$\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\right)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _{n}(x)$ .

Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n=2n+1$$\lambda _{n}=2n+1$ . Нормированные на единицу, они записываются как

${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n(x)=e^{-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{\sqrt{2^{n}n!\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}}{H}_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}(x),n=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$\psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\dots$ .

В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита $H_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}(x)$$H_{n}^{*}(x)$ .

• Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности $u_t-<!--\; -\; -->u_{xx}=0$$u_{t}-u_{{xx}}=0$  на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции $u(x,t)=e^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{2}t}$$u(x,t)=e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t}}$ . Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ :

$e^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{2}t}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^n}{n!}{P}_n(x,t)$$e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}}P_{n}(x,t)$ ,

то функции $P_n(x,t)$$P_{n}(x,t)$ , которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию $P_n(x,t=0)=x^n$$P_{n}(x,t=0)=x^{n}$ , выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:

$P_n(x,t)=(i\sqrt{2t}{)}^n{H}_n\left(\frac{x}{i\sqrt{2t}}\right)=\frac{1}{\sqrt{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}t}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{(x-<!--\; -\; -->y{)}^2}{4t}}{y}^{n}dy$$P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t}})^{n}H_{n}\left({\frac {x}{i{\sqrt {2t}}}}\right)={\frac {1}{{\sqrt {4\pi t}}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-{\frac {(x-y)^{2}}{4t}}}}y^{n}dy$ .

Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.

• В лазерной физике, а точнее — в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита — Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews